( 8 , 0 ) Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento L=10,00 nm . Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo (Psin(x) ).
(4,0) Essa função é autofunção dos operadores x d^2d x^2 e dd x ? Demonstre.
Psin(x)=raiz2L sen n piL x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função de onda Psin(x) = raiz2L sin(n piL x) é uma autofunção (ou eigenfunção) dos operadores x d^2dx^2 e ddx.
Matéria envolvida: Álgebra linear em mecânica quântica, especificamente sobre operadores e autofunções.
O que precisamos: Aplicar cada operador à função Psin(x) e verificar se o resultado é um múltiplo da função original. Se for, então Psin(x) é uma autofunção desse operador.

Passo 2

Vamos começar verificando se Psin(x) é uma autofunção do operador x d^2dx^2.
Primeiro, precisamos aplicar o operador x d^2dx^2 à função Psin(x).

Passo 3

Calculemos a segunda derivada de Psin(x):
Psin(x) = raiz2L sin(n piL x)
A primeira derivada:
ddx Psin(x) = raiz2L cdot n piL cos(n piL x)
A segunda derivada:
d^2dx^2 Psin(x) = -raiz2L cdot (n piL)^2 sin(n piL x) = -(n piL)^2 Psin(x)

Passo 4

Agora, aplicamos o operador x d^2dx^2 à função Psin(x):
x d^2dx^2 Psin(x) = x cdot ( -(n piL)^2 Psin(x) ) = -(n piL)^2 x Psin(x)
Para Psin(x) ser uma autofunção desse operador, o resultado deve ser igual a um múltiplo da própria Psin(x). Ou seja:
x d^2dx^2 Psin(x) = lambda Psin(x)
Onde lambda é uma constante.
No nosso caso, temos um termo extra de x, o que significa que o resultado não é apenas um múltiplo constante de Psin(x), mas depende de x. Portanto, não satisfaz a condição de ser uma autofunção.

Passo 5

Agora, vamos verificar se Psin(x) é uma autofunção do operador ddx.
Aplicamos o operador ddx à função Psin(x):
ddx Psin(x) = raiz2L cdot n piL cos(n piL x)
Para Psin(x) ser uma autofunção desse operador, precisaríamos que:
ddx Psin(x) = lambda Psin(x)
Mas observamos que a derivada resulta em uma função de cosseno, enquanto Psin(x) é uma função de seno. Portanto, a derivada não é proporcional à função original, ou seja, não podemos escrever ddx Psin(x) como um múltiplo de Psin(x).

Resposta

Não, a função de onda Psin(x) não é uma autofunção dos operadores x d^2dx^2 e ddx.

Exercícios relacionados