) Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento
nm . Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo
).
Essa função é autofunção dos operadores
e
? Demonstre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função de onda
é uma autofunção (ou eigenfunção) dos operadores
e
.
Matéria envolvida: Álgebra linear em mecânica quântica, especificamente sobre operadores e autofunções.
O que precisamos: Aplicar cada operador à função
e verificar se o resultado é um múltiplo da função original. Se for, então
é uma autofunção desse operador.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é uma autofunção do operador
.
Primeiro, precisamos aplicar o operador
à função
.
Passo 3
Calculemos a segunda derivada de
:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4
Agora, aplicamos o operador
à função
:
Para
ser uma autofunção desse operador, o resultado deve ser igual a um múltiplo da própria
. Ou seja:
Onde
é uma constante.
No nosso caso, temos um termo extra de
, o que significa que o resultado não é apenas um múltiplo constante de
, mas depende de
. Portanto, não satisfaz a condição de ser uma autofunção.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é uma autofunção do operador
.
Aplicamos o operador
à função
:
Para
ser uma autofunção desse operador, precisaríamos que:
Mas observamos que a derivada resulta em uma função de cosseno, enquanto
é uma função de seno. Portanto, a derivada não é proporcional à função original, ou seja, não podemos escrever
como um múltiplo de
.
Resposta
Não, a função de onda
não é uma autofunção dos operadores
e
.