Determine o valor de m para que os vetores a=3 i+5 j-9 k e b=7 i+m j+4 k sejam perpendiculares entre si.

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, a = 3 i + 5 j - 9 k e b = 7 i + m j + 4 k. A parada é descobrir o valor de m que faz com que esses dois vetores sejam perpendiculares. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar entre a e b é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando tudo.

Passo 3

Vamos escrever a fórmula do produto escalar para esses vetores:
a cdot b = (3)(7) + (5)(m) + (-9)(4)
Isso significa que multiplicamos os componentes de i, j e k e somamos os resultados.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte:
(3)(7) = 21
(5)(m) = 5m
(-9)(4) = -36
Então, substituindo na equação do produto escalar:
21 + 5m - 36 = 0

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
5m - 15 = 0
Agora, isolamos o m:
5m = 15
m = 155
m = 3

Resposta

O valor de m que torna os vetores a e b perpendiculares é 3.

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