(8,0) Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento L=10,00 nm . Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo (Psin(x)).
a) (4,0) Considerando 0 estado n=1, qual a probabilidade de encontrar o elétron entre 1,00 nm e 1,01 nm ?
b) (2,0) Essa função é autofunção dos operadores 3 x e dd x ? Demonstre.
c) (2,0) Esses operadores comutam? Ou seja, 3 x dd x Psin(x) é igual a dd x 3 x Psin(x). Demonstre.
Psin(x)=raiz2L sen n piL x

Passo 1

O enunciado descreve um elétron confinado numa “caixa” unidimensional de comprimento L=10,00 nm, com autofunções
Psin(x)=raiz2Lsen!gl(npiLxgr)
Pede-se:
a) para n=1, a probabilidade de achar o elétron em xin[1,00,nm,1,01,nm];
b) mostrar se Psin(x) é autofunção dos operadores 3x e tfracddx;
c) verificar se esses operadores comutam, isto é, se
3x,ddxPsin(x) stackrel?= ddxl(3x,Psin(x)r)

Passo 2

Para o item (a), a probabilidade de encontrar o elétron entre x1=1,00 nm e x2=1,01 nm é
P =integralx1^x2 l|Psi1(x)r|^2dx =integralx1^x2 2Lsen^2!l(piLxr),dx
Podemos usar a identidade
sen^2u=1-cos(2u)2
e obter em forma exata
P =2Lgl[x2-x12 -14,( pi/L)l(senl(2pi x2/Lr) -senl(2pi x1/Lr)r)gr]

Passo 3

Agora substituímos L=10,00 nm =1,00times10^-8 m, De<a x=x2-x1=0,01 nm =1,00times10^-11 m. Num cálculo aproximado vale
PapproxDe<a xL -12pil[sen(2pitimes0,101)-sen(2pitimes0,100)r] approx2,2times10^-4

Passo 4

Para o item (b) testamos a equação de autovalor APsi=lambdaPsi.
Operador 3x:
3x,Psin(x) =3xraiztfrac2Lsen!l(tfracnpiLxr),
que não pode ser escrito como uma constante lambda vezes Psin(x) (há o fator extra x). Logo Psin não é autofunção de 3x.
Operador tfracddx:
ddxPsin(x) =raiztfrac2L;npiLcos!l(tfracnpiLxr),
que também não é proporcional a sen(npi x/L). Logo Psin não é autofunção de tfracddx nem de 3x.

Passo 5

Para o item (c) calculamos
3x,ddxPsi =3x,Psi' e ddx(3x,Psi) =3,Psi+3x,Psi'
Como falta o termo 3,Psi em 3x,Psi', vemos
3x,ddxPsi;neq;ddx(3x,Psi),
ou seja, [3x,tfracddx]=-3neq0 e os operadores não comutam.

Resposta

a) Papprox2,2times10^-4
b) Não é autofunção nem de 3x nem de tfracddx
c) Não comutam, pois
;3x,tfracddxPsineqtfracddx(3x,Psi).

Exercícios relacionados