(7,0) Considere a função de onda abaixo:
Psi(x)=A e^-i k x cos (3 pi x)
Sendo k e A constantes reais, A é a constante de normalização.
2
a) (4,0) Normalize Psi(x);
b) (3,0) Essa função é autofunção do operador quântico de energia cinética? Demonstre.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda
Psi(x)=A,e^-i k xcos(3pi x)
definida no eixo real (xin(-infty,infty)). Queremos (a) determinar A de modo que
integral-infty^infty|Psi(x)|^2,dx=1
e (b) verificar se Psi é autofunção do operador cinético
hat T=-hbar^22md^2dx^2

Passo 2

Para normalizar calculamos
|Psi(x)|^2 =|A|^2,l|e^-ikxr|^2cos^2(3pi x) =|A|^2cos^2(3pi x),
pois l|e^-ikxr|^2=1. Então
integral-infty^infty|Psi(x)|^2,dx =|A|^2integral-infty^inftycos^2(3pi x),dx
Mas cos^2(3pi x) é periódico e não decai em |x|toinfty, de modo que
integral-infty^inftycos^2(3pi x),dx=infty
Logo não existe A finito tal que a integral fique unitária: Psi não é normalizável em L^2( R).

Passo 3

Para ver se Psi é autofunção de hat T, escrevemos
cos(3pi x) =e^,i3pi x+e^-,i3pi x2,
então
Psi(x) =A2l(e^-i(k-3pi)x+e^-i(k+3pi)xr)
Cada termo e^-iKx é autofunção de hat T com energia cinética
E(K)=hbar^2K^22m
Aqui temos dois valores de K, K1=k-3pi e K2=k+3pi.

Passo 4

Aplicando hat T em Psi obtemos
hat TPsi =A2l(E(k-3pi),e^-i(k-3pi)x+E(k+3pi),e^-i(k+3pi)xr)
Como E(k-3pi)neq E(k+3pi) em geral, hat TPsi não é proporcional a Psi. Só se E(k-3pi)=E(k+3pi), o que ocorre unicamente para k=0, é que as duas componentes têm a mesma energia e aí
Psi(x)=Acos(3pi x)
é autofunção de hat T com E=hbar^2(3pi)^2/(2m).

Resposta

(a) A integral integral-infty^infty|Psi|^2dx diverge, logo não existe constante de normalização A finita.
(b) Psi não é autofunção de hat T porque se decompõe em duas ondas planas com energias diferentes (só é autofunção se k=0).

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