Considere um elétron confinado num poço infinito cuja largura é igual a 98,5 \mathrm{pm}. Se ele estiver num estado com n=15, quais são: (a) a sua energia? (b) A incerteza no seu momento linear? (c) A incerteza na sua posição?

Passo 1

O enunciado trata de um elétron confinado num poço de potencial infinito de largura L=98{,}5\text{ pm} e, estando no estado quântico n=15, pede:
– (a) sua energia;
– (b) a incerteza no momento linear;
– (c) a incerteza na sua posição.
O conteúdo é Mecânica Quântica para o poço infinito, onde usaremos as fórmulas dos níveis de energia e dos momentos e posições médias e quadráticas.

Passo 2

A energia do nível n num poço infinito de largura L vem de
E_n = \frac{n^2 h^2}{8\,m\,L^2}\,,
sendo h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}, m=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e L=98{,}5\,\mathrm{pm}=9{,}85\times10^{-11}\,\mathrm{m}.
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
n^2 h^2 = 15^2 \times (6{,}626\times10^{-34})^2 \approx 9{,}88\times10^{-65},
8\,m\,L^2 = 8 \times 9{,}11\times10^{-31} \times (9{,}85\times10^{-11})^2 \approx 7{,}07\times10^{-50}.
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E_{15} \approx \frac{9{,}88\times10^{-65}}{7{,}07\times10^{-50}} = 1{,}40\times10^{-15}\,\mathrm{J}\approx 8{,}74\times10^{3}\,\mathrm{eV}.

Passo 3

Num estado estacionário de poço infinito tem-se \langle p\rangle=0 e
\langle p^2\rangle = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{L^2},
portanto
\Delta p = \sqrt{\langle p^2\rangle - \langle p\rangle^2} = \frac{n\pi\hbar}{L}.
Com \hbar=1{,}055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s},
\Delta p = \frac{15\pi\times1{,}055\times10^{-34}}{9{,}85\times10^{-11}} \approx 5{,}05\times10^{-23}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Para a posição no poço infinito vale
\langle x\rangle = \frac{L}{2},\quad \langle x^2\rangle = L^2\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\Bigr),
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(\Delta x)^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2 = L^2\Bigl(\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\Bigr).
Substituindo n=15 e L=9{,}85\times10^{-11}\,\mathrm{m}:
\Delta x = L\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2\,(15)^2\pi^2}} \approx 9{,}85\times10^{-11}\times0{,}2884 =2{,}84\times10^{-11}\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) E_{15}\approx1{,}40\times10^{-15}\,\mathrm{J}\approx8{,}74\times10^{3}\,\mathrm{eV}.
(b) \Delta p\approx5{,}05\times10^{-23}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
(c) \Delta x\approx2{,}84\times10^{-11}\,\mathrm{m}.

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