O filamento de uma certa lâmpada de 100 W consiste em um fio de tungstênio de 0.280 mm de diâmetro e de 1,80 \mathrm{~cm} de comprimento. Consulte o Apêndice D para obter os dados necessários sobre o tungstênio. Suponha a emissividade igual à unidade e ignore a energia que o filamento absorve de suas vizinhanças. ( a ) Calcule a temperatura de operação do filamento. (b) Quanto tempo levará para o filamento esfriar de 500^{\circ} \mathrm{C}, depois que a lâmpada for desligada?

Passo 1

O enunciado dá um filamento cilíndrico de tungstênio de potência P=100,W, diâmetro d=0,280,mm e comprimento L=1,80,cm. No Apêndice D achamos para o tungstênio: densidade \rho=19\,300,kg/ m^{3} e capacidade térmica aproximada c\approx140,J/(k g\cdot K).
(a) Queremos a temperatura de operação T, supondo emissividade \varepsilon=1 e perda apenas por radiação. Usaremos a lei de Stefan– Boltzmann
P \;=\;\varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4}.
(b) Queremos o tempo característico de resfriamento quando o filamento está a 500{^\circ}C ( 773 K), assumindo resfriamento radiativo linearizado (coeficiente radiativo h_r\approx4\varepsilon\sigma T^3).

Passo 2

Calcular a área lateral do filamento
A = \pi\,d\,L
com
d = 0{,}280\;\text{mm}=2{,}80\times10^{-4}\,\text{m},\quad L = 1{,}80\;\text{cm}=1{,}80\times10^{-2}\,\text{m}.
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A = \pi\,(2{,}80\times10^{-4})\,(1{,}80\times10^{-2}) \approx1{,}584\times10^{-5}\,\text{m}^2.

Passo 3

Determinar a temperatura de operação T a partir de
100 = \sigma\,A\,T^4, \qquad \sigma = 5{,}67\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\,K^4)}.
Isolando T:
T = \biggl(\frac{100}{\sigma\,A}\biggr)^{1/4} = \biggl(\frac{100}{5{,}67\times10^{-8}\times1{,}584\times10^{-5}}\biggr)^{1/4} \approx3{,}24\times10^{3}\,\text{K}.

Passo 4

Calcular a massa do filamento
V = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2L, \quad m = \rho\,V.
Temos
V = \pi\,(1{,}40\times10^{-4})^2(1{,}80\times10^{-2}) \approx1{,}108\times10^{-9}\,\mathrm{m^3},
m = 19{,}3\times10^{3}\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \times1{,}108\times10^{-9}\,\mathrm{m^3} \approx2{,}14\times10^{-5}\,\mathrm{kg}.

Passo 5

Para o resfriamento radiativo linearizado em torno de T=773,K, usamos
h_r = 4\,\varepsilon\,\sigma\,T^3 =4\times5{,}67\times10^{-8}\times(773)^3 \approx1,05\times10^{2}\,\mathrm{W/(m^2\,K)}.
A capacidade térmica total é
m\,c \approx (2{,}14\times10^{-5}\,\mathrm{kg})\,(140\,\mathrm{J/(kg\cdot K)}) =2,996\times10^{-3}\,\mathrm{J/K}.

Passo 6

O tempo característico (\emph{time constant}) para o filamento resfriar é dado por
\tau = \frac{m\,c}{h_r\,A} = \frac{2,996\times10^{-3}}{(1,05\times10^{2})(1,584\times10^{-5})} \approx1{,}8\;\text{s}.

Resposta

(a) T\approx3,24\times10^{3},K.
(b) O tempo característico de resfriamento em torno de 500{^\circ}C é \tau\approx1{,}8,s.

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