Um feixe de nêutrons de baixa energia emerge de um reator e é difratado por um cristal. As energias cinéticas dos nêutrons estão restritas a uma banda de largura \Delta K centrada na energia cinética K. Mostre que os ângulos para uma determinada ordem de difração se estendem por uma faixa \Delta \theta dada, em graus, por
\Delta \theta=\left(\frac{90}{\pi}\right)(\tan \theta) \frac{\Delta K}{K}
onde \theta é o ângulo de difração para um nêutron com energia cinétiса K.

Passo 1

O enunciado diz que um feixe de nêutrons com energias centradas em K e espalhadas numa faixa \Delta K é difratado por um cristal. Queremos relacionar essa largura em energia \Delta K com a largura angular \Delta\theta de uma mesma ordem de difração. Para isso vamos usar a relação entre comprimento de onda e energia cinética (de Broglie) e a lei de Bragg, diferenciando ambas.

Passo 2

A relação de de Broglie para o comprimento de onda de um nêutron de massa m e energia cinética K é
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}.
Derivando \lambda em relação a K e dividindo por \lambda, obtemos
\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac12\,\frac{dK}{K}.
Em módulo, a variação relativa do comprimento de onda é
\Bigl|\frac{\Delta\lambda}{\lambda}\Bigr| = \frac12\,\frac{\Delta K}{K}.

Passo 3

A lei de Bragg para ordem n é
2d\sin\theta = n\,\lambda.
Diferenciando essa equação, com d e n fixos, vem
2d\cos\theta\,d\theta = n\,d\lambda \quad\Longrightarrow\quad d\theta = \frac{d\lambda}{\lambda}\,\tan\theta.
Em módulo,
|\Delta\theta| = \Bigl|\frac{\Delta\lambda}{\lambda}\Bigr|\;\tan\theta.

Passo 4

Substituindo \bigl|\Delta\lambda/\lambda\bigr| = \tfrac12\,(\Delta K/K) na expressão para \Delta\theta (que está em radianos), obtemos
\Delta\theta_{\rm rad} = \frac12\,\tan\theta\;\frac{\Delta K}{K}.

Passo 5

Para passar de radianos para graus, multiplicamos por 180/\pi:
\Delta\theta_{\rm deg} = \frac{180}{\pi}\,\Delta\theta_{\rm rad} = \frac{180}{\pi}\,\frac12\,\tan\theta\;\frac{\Delta K}{K} = \frac{90}{\pi}\,\tan\theta\;\frac{\Delta K}{K}.

Resposta

\Delta \theta = \biggl(\frac{90}{\pi}\biggr)\tan\theta\,\frac{\Delta K}{K}.

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