Considere um planeta, de raio R, girando em torno do Sol numa órbita circular de raio r. Suponha que o planeta não tenha atmosfera (e, consequentemente, não apresente o “efeito estufa”). (a) Mostre que a temperatura T da superfície do planeta é dada pela relação T^{4}=P_{\text {sol }} / 16 \pi \sigma r^{2}, onde P_{\text {sol }} é a taxa com que o Sol irradia energia. (b) Calcule o valor desta temperatura para a Terra.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de equilíbrio de um planeta sem atmosfera que recebe energia do Sol e a reemite como corpo negro. O conteúdo principal é o balanço radiativo usando a lei de Stefan–Boltzmann, que diz que um corpo negro emite potência
P_{\rm emit} = \sigma\,T^4\,A
sendo \sigma a constante de Stefan–Boltzmann e A a área de emissão. Vamos precisar também do fluxo solar a uma distância r do Sol, dado pela luminosidade P_{\rm sol} distribuída sobre a esfera de raio r.

Passo 2

A potência solar que atinge o planeta vem do fluxo
I = \frac{P_{\rm sol}}{4\pi r^2}
e incide apenas na área de seção reta \pi R^2. Logo, a potência absorvida é
P_{\rm in} \;=\; I\;\pi R^2 \;=\; \frac{P_{\rm sol}}{4\pi r^2}\,\pi R^2 \;=\; \frac{P_{\rm sol}\,R^2}{4\,r^2}\,.

Passo 3

Em equilíbrio térmico, toda potência absorvida é reemitida pela superfície total 4\pi R^2, ou seja
P_{\rm out} \;=\; \sigma\,T^4\,(4\pi R^2)\,.
Igualando P_{\rm in}=P_{\rm out} e cancelando R^2, obtemos
\frac{P_{\rm sol}}{4\,r^2} \;=\; 4\pi\,\sigma\,T^4 \quad\Longrightarrow\quad T^4 \;=\;\frac{P_{\rm sol}}{16\pi\,\sigma\,r^2}\,.

Passo 4

Para a Terra, use
\,P_{\rm sol}=3{,}828\times10^{26}\,\mathrm{W},
\,r=1{,}496\times10^{11}\,\mathrm{m} e
\,\sigma=5{,}670\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}.
Substituindo em
T^4 = \frac{3{,}828\times10^{26}}{16\pi\,(5{,}670\times10^{-8})\,(1{,}496\times10^{11})^2}
encontra-se numericamente
T \approx 2{,}79\times10^2\\ \mathrm{K}\approx279\\ \mathrm{K}.

Resposta

Para qualquer planeta sem atmosfera
T^4 = \frac{P_{\rm sol}}{16\pi\,\sigma\,r^2}.
No caso da Terra,
T \approx 279\\ \mathrm{K}\\ (\approx 6{,}5^\circ\mathrm{C}).

Exercícios relacionados