Um objeto com massa de 10 g realiza um movimento harmônico simples, com amplitude igual a 24 cm e período 4 s. Se o deslocamento em t =0 s é 24 cm, calcular: a intensidade e direção da força que atuam sob o objeto quando t=0,5 s, e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre Movimento Harmônico Simples (MHS). Temos um objeto com massa de 10 g que oscila com uma amplitude de 24 cm e um período de 4 segundos. No instante inicial (t = 0 s), ele está na máxima amplitude (24 cm). O que precisamos descobrir é qual é a intensidade e a direção da força que atua sobre esse objeto quando se passou meio segundo (t = 0,5 s). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre MHS, calcular a posição e a aceleração do objeto nesse instante, e então aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a força.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Massa (m): 10 g = 0,01 kg
  • Amplitude (A): 24 cm = 0,24 m
  • Período (T): 4 s

Passo 3

No Movimento Harmônico Simples, a posição do objeto ao longo do tempo é dada pela equação:
x(t) = A cdot cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.
Como no tempo $ t = 0 $, o objeto está na máxima amplitude positiva, a fase inicial $ \phi = 0 $. Então, a equação fica:
A

Passo 4

Vamos calcular a frequência angular $ \omega $. Ela está relacionada ao período $ T $ pela fórmula:
omega
Substituindo $ T = 4 $ s:
T

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição $ x $ do objeto no instante $ t = 0,5 $ s:
x
t = 0,5
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
x(0,5) = 0,24 cdot cos(pi2 cdot 0,5)

Passo 6

Para encontrar a aceleração $ a(t) $ no MHS, usamos a relação:
a(t)
Substituindo $ \omega = \frac{\pi}{2} $ rad/s e $ x(0,5) \approx 0,170 $ m:
a(t) = -omega^2 cdot x(t)
omega = pi2
x(0,5) approx 0,170
a(0,5) = -(pi2)^2 cdot 0,170

Passo 7

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força $ F $ é igual à massa $ m $ multiplicada pela aceleração $ a $:
F
Substituindo $ m = 0,01 $ kg e $ a(0,5) \approx -0,420 $ m/s²:
m
a

Resposta

A força que atua sobre o objeto em $ t = 0,5 $ s tem uma intensidade de aproximadamente 0,0042 N e está direcionada oposta ao deslocamento, ou seja, na direção contrária ao movimento do objeto.

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