1. Considere um elétron de massa m em uma caixa quântica de potencial infinito na forma de um cubo cujos lados têm comprimento L. Qual das energias abaixo não pode ser uma das auto energias do sistema?
    (a) \frac{3 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}
    (b) \frac{14 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}
    (c) \frac{4 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}
    (d) \frac{12 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}
    (e) \frac{27 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}

Passo 1

O enunciado diz: temos um elétron de massa m confinado numa caixa cúbica de potencial infinito com aresta de comprimento L. Pede-se determinar qual das energias listadas não pode ser uma autoenergia do sistema. As opções dadas são:
(a) \frac{3 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}
(b) \frac{14 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}
(c) \frac{4 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}
(d) \frac{12 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}
(e) \frac{27 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}

Passo 2

Fórmula das autoenergias do poço infinito cúbico: ao separar as variáveis na equação de Schrödinger para um cubo de lado L com paredes infinitas, os números de onda são quantizados em cada direção como k_i = \frac{n_i\pi}{L} com n_i\in\{1,2,3,\dots\}. A energia cinética (que aqui é toda a energia) é
E = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}
e como k^{2}=k_x^{2}+k_y^{2}+k_z^{2} obtemos a expressão padrão
E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}\;(n_x^{2}+n_y^{2}+n_z^{2}).
Aqui n_x,n_y,n_z são inteiros positivos que indexam os modos; \hbar é a constante de Dirac reduzida, m a massa do elétron e L o comprimento da aresta do cubo.

Passo 3

Conveniente definir a unidade básica
E_0=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}.
As autoenergias possíveis são exatamente E=S\,E_0, onde
S=n_x^{2}+n_y^{2}+n_z^{2}
com n_x,n_y,n_z\in\{1,2,3,\dots\}. Ou seja, cada coeficiente numérico nas opções deverá ser representável como soma de três quadrados de inteiros positivos.

Passo 4

Começo testando a opção (a): coeficiente 3. Podemos escrever
3=1^{2}+1^{2}+1^{2},
logo existe (n_x,n_y,n_z)=(1,1,1). Portanto (a) é uma autoenergia permitida.

Passo 5

Testando (b): coeficiente 14. Podemos escrever
14 = 3^{2}+2^{2}+1^{2} = 9+4+1,
logo (n_x,n_y,n_z)=(3,2,1) gera essa energia. Portanto (b) é permitida.

Passo 6

Testando (c): coeficiente 4. Precisamos ver se existe uma tripla de inteiros positivos cujos quadrados somem 4. Como cada n_i^{2}\ge 1, a soma mínima de três quadrados é 1+1+1=3. As possíveis quadrados menores ou iguais a 4 são 1 e 4. As combinações de três termos escolhendo entre 1 e 4 são:
  • 1+1+1=3,
  • 1+1+4=6,
  • 1+4+4=9,
  • 4+4+4=12.
    Nenhuma dessas combinações dá 4. Não há como incluir um termo igual a 0 porque n_i deve ser positivo. Portanto não existe (n_x,n_y,n_z) com soma de quadrados igual a 4. Conclusão: 4 não é representável como soma de três quadrados positivos, logo a energia da opção (c) não pode ser uma autoenergia.

Passo 7

Para verificar que as outras opções são de fato possíveis (controle adicional):
  • (d) coeficiente 12: \;12=2^{2}+2^{2}+2^{2}=4+4+4, existe (2,2,2).
  • (e) coeficiente 27: \;27=3^{2}+3^{2}+3^{2}=9+9+9, existe (3,3,3).

Passo 8

Portanto, entre as alternativas dadas, apenas a opção (c) tem coeficiente que não é soma de três quadrados de inteiros positivos, então essa não pode ser autoenergia do elétron na caixa cúbica.

Resposta

(c) \frac{4 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}

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