- Considere um elétron de massa
em uma caixa quântica de potencial infinito na forma de um cubo cujos lados têm comprimento
. Qual das energias abaixo não pode ser uma das auto energias do sistema?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado diz: temos um elétron de massa
confinado numa caixa cúbica de potencial infinito com aresta de comprimento
. Pede-se determinar qual das energias listadas não pode ser uma autoenergia do sistema. As opções dadas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 2
Fórmula das autoenergias do poço infinito cúbico: ao separar as variáveis na equação de Schrödinger para um cubo de lado
com paredes infinitas, os números de onda são quantizados em cada direção como
com
. A energia cinética (que aqui é toda a energia) é
e como
obtemos a expressão padrão
Aqui
são inteiros positivos que indexam os modos;
é a constante de Dirac reduzida,
a massa do elétron e
o comprimento da aresta do cubo.
Passo 3
Conveniente definir a unidade básica
As autoenergias possíveis são exatamente
, onde
com
. Ou seja, cada coeficiente numérico nas opções deverá ser representável como soma de três quadrados de inteiros positivos.
Passo 4
Começo testando a opção (a): coeficiente
. Podemos escrever
logo existe
. Portanto (a) é uma autoenergia permitida.
Passo 5
Testando (b): coeficiente
. Podemos escrever
logo
gera essa energia. Portanto (b) é permitida.
Passo 6
Testando (c): coeficiente
. Precisamos ver se existe uma tripla de inteiros positivos cujos quadrados somem
. Como cada
, a soma mínima de três quadrados é
. As possíveis quadrados menores ou iguais a
são
e
. As combinações de três termos escolhendo entre
e
são:
-
, -
, -
, -
.
Nenhuma dessas combinações dá. Não há como incluir um termo igual a porque deve ser positivo. Portanto não existe com soma de quadrados igual a . Conclusão: não é representável como soma de três quadrados positivos, logo a energia da opção (c) não pode ser uma autoenergia.
Passo 7
Para verificar que as outras opções são de fato possíveis (controle adicional):
- (d) coeficiente
: , existe . - (e) coeficiente
: , existe .
Passo 8
Portanto, entre as alternativas dadas, apenas a opção (c) tem coeficiente que não é soma de três quadrados de inteiros positivos, então essa não pode ser autoenergia do elétron na caixa cúbica.
Resposta
(c)