Considere um sistema quântico de dois níveis cujo Hamiltoniano é descrito por H= \left(\begin{array}{cc}E_{1} & \delta \\\ \delta & E_{2}\end{array}\right) na base de kets |1\rangle,|2\rangle. Uma partícula é colocada exatamente no estado |1\rangle em t_{0} =0. Qual o intervalo de tempo t que esta partícula leva para atingir o estado |2\rangle pela primeira vez?
(a) t=0
(b) t=\infty
(c) t=h /\left[E_{1}+E_{2}+2 \sqrt{\left(E_{1}-E_{2}\right)^{2}+4 \delta^{2}}\right]
(d) t=h / 2 \sqrt{\left(E_{1}-E_{2}\right)^{2}+4 \delta^{2}}
(e) t=2 h /\left(E_{1}+E_{2}\right)

Passo 1

Enunciado e dados relevantes:
  • Hamiltoniano dado na base |1\rangle,|2\rangle:
H=\begin{pmatrix}E_{1} & \delta \\\ \delta & E_{2}\end{pmatrix}.
  • Condição inicial: a partícula está em |1\rangle no instante t_{0}=0.
  • Pergunta: qual o intervalo de tempo t que a partícula leva para atingir o estado |2\rangle pela primeira vez? (Entenda “atingir o estado |2\rangle” como estar exatamente em |2\rangle — probabilidade igual a 1.)
  • Alternativas: (a) t=0, (b) t=\infty, (c) t=\dfrac{h}{E_{1}+E_{2}+2\sqrt{(E_{1}-E_{2})^{2}+4\delta^{2}}}, (d) t=\dfrac{h}{2\sqrt{(E_{1}-E_{2})^{2}+4\delta^{2}}}, (e) t=\dfrac{2h}{E_{1}+E_{2}}.

Passo 2

Diagonalização do Hamiltoniano (autovalores).
  • Vamos calcular os autovalores E_{\pm} de H. Para a matriz 2\times2 a soma e a diferença dos autovalores são úteis. Defina
\Omega \equiv \sqrt{(E_{1}-E_{2})^{2}+4\delta^{2}}.
  • Os autovalores são
E_{\pm}=\frac{E_{1}+E_{2}}{2}\pm\frac{\Omega}{2}.
Explicação curta: isso vem da solução do polinômio característico \det(H-EI)=0. Aqui \Omega é a separação energética entre as duas energias próprias.

Passo 3

Autovetores e ângulo de mistura.
  • Introduzimos um ângulo \theta que descreve a mistura das bases “originais” |1\rangle,|2\rangle com as bases de autovalores |+\rangle,|-\rangle, definido por
\tan(2\theta)=\frac{2\delta}{E_{1}-E_{2}}.
  • Os autovetores normalizados podem ser escolhidos como
|+\rangle=\cos\theta\,|1\rangle+\sin\theta\,|2\rangle, \qquad |-\rangle=-\sin\theta\,|1\rangle+\cos\theta\,|2\rangle.
Comentário didático: \theta mede quanto os estados de energia própria são “misturas” dos estados |1\rangle e |2\rangle. Quando \delta=0 temos \theta=0 (não há mistura).

Passo 4

Escrever o estado inicial na base de autovetores.
  • A condição inicial |\psi(0)\rangle=|1\rangle pode ser escrita como combinação dos autovetores:
|1\rangle=\cos\theta\,|+\rangle-\sin\theta\,|-\rangle.
Explicação: inverter as relações da base anterior e usar ortonormalidade.

Passo 5

Evolução temporal do estado.
  • Cada autovetor evolve com um fator de fase \exp(-iE_{\pm}t/\hbar) (princípio fundamental da evolução unitária). Assim
|\psi(t)\rangle=\cos\theta\,e^{-iE_{+}t/\hbar}|+\rangle-\sin\theta\,e^{-iE_{-}t/\hbar}|-\rangle.
  • Queremos a amplitude de encontrar |2\rangle em t:
a_{2}(t)=\langle 2|\psi(t)\rangle.

Passo 6

Cálculo explícito da amplitude a_{2}(t).
  • Usando \langle 2|+\rangle=\sin\theta e \langle 2|-\rangle=\cos\theta obtemos
a_{2}(t)=\cos\theta\,\sin\theta\,e^{-iE_{+}t/\hbar}-\sin\theta\,\cos\theta\,e^{-iE_{-}t/\hbar}.
Fatorando:
a_{2}(t)=\sin\theta\cos\theta\left(e^{-iE_{+}t/\hbar}-e^{-iE_{-}t/\hbar}\right).
  • Use a identidade para diferença de exponenciais: com \Delta E\equiv E_{+}-E_{-}=\Omega,
e^{-iE_{+}t/\hbar}-e^{-iE_{-}t/\hbar} = -2i\,e^{-i(E_{+}+E_{-})t/(2\hbar)}\sin\!\biggl(\frac{\Omega t}{2\hbar}\biggr).
  • Assim (a fase global não importa para probabilidades):
a_{2}(t) = -2i\,\sin\theta\cos\theta\,e^{-i(E_{1}+E_{2})t/(2\hbar)}\sin\!\biggl(\frac{\Omega t}{2\hbar}\biggr).

Passo 7

Probabilidade de transição P_{1\to2}(t).
  • A probabilidade de estar em |2\rangle é P_{1\to2}(t)=|a_{2}(t)|^{2}. Eliminando a fase global:
P_{1\to2}(t)=4\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\;\sin^{2}\!\biggl(\frac{\Omega t}{2\hbar}\biggr).
  • Use \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta para simplificar:
P_{1\to2}(t)=\sin^{2}(2\theta)\;\sin^{2}\!\biggl(\frac{\Omega t}{2\hbar}\biggr).
  • Em termos dos parâmetros E_{1},E_{2},\delta podemos escrever \sin(2\theta)=\dfrac{2\delta}{\Omega}, logo
P_{1\to2}(t)=\frac{4\delta^{2}}{\Omega^{2}}\;\sin^{2}\!\biggl(\frac{\Omega t}{2\hbar}\biggr).

Passo 8

Quando a partícula atinge exatamente |2\rangle (probabilidade 1)?
  • Para P_{1\to2}(t)=1 precisamos que dois fatores cooperem:
    1. \sin^{2}\!\bigl(\dfrac{\Omega t}{2\hbar}\bigr)=1, isto é \dfrac{\Omega t}{2\hbar}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi para algum inteiro k.
    2. O prefator \dfrac{4\delta^{2}}{\Omega^{2}} deve ser igual a 1.
  • A condição 2 dá \Omega=2|\delta|, que implica (E_{1}-E_{2})^{2}=0, ou seja E_{1}=E_{2}. Conclusão importante: se E_{1}\neq E_{2} então \dfrac{4\delta^{2}}{\Omega^{2}}<1 e a probabilidade máxima é menor que 1; portanto a partícula nunca estará exatamente em |2\rangle em qualquer tempo finito. Neste caso a partícula nunca atinge |2\rangle com probabilidade unitária — portanto, se a pergunta exige probabilidade 1, o tempo seria infinito (nunca acontece).
  • Se, porém, E_{1}=E_{2} (caso degenerado), então \Omega=2|\delta| e o prefator vale 1. A primeira vez que \sin^{2}(\cdot)=1 ocorre para \dfrac{\Omega t}{2\hbar}=\dfrac{\pi}{2}, isto é
t=\frac{\pi\hbar}{\Omega}.
Usando h=2\pi\hbar temos \pi\hbar=\dfrac{h}{2}, daí
t=\frac{h}{2\Omega}=\frac{h}{2\sqrt{(E_{1}-E_{2})^{2}+4\delta^{2}}}.
No caso E_{1}=E_{2} isso reduz a t=\dfrac{h}{4\delta}. Note que a expressão geral acima coincide com a alternativa (d).

Passo 9

Interpretação final e escolha entre as alternativas.
  • Como o enunciado não impõe E_{1}=E_{2}, o caso geral tem E_{1}\neq E_{2} possível e então a probabilidade máxima de encontrar |2\rangle é menor que 1; portanto a partícula não atinge exatamente |2\rangle em tempo finito — ou seja, “pela primeira vez” isso não ocorre para nenhum t<\infty.
  • Assim, para o enunciado geral a alternativa correta é (b) t=\infty.
  • Observação: se o problema explicitamente tivesse dito que E_{1}=E_{2}, então a alternativa correta seria (d). Mas sem essa hipótese, a resposta rigorosa é (b).

Resposta

(b)

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