Considere um sistema quântico de dois níveis cujo Hamiltoniano é descrito por
na base de kets
. Uma partícula é colocada exatamente no estado
em
. Qual o intervalo de tempo
que esta partícula leva para atingir o estado
pela primeira vez?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Enunciado e dados relevantes:
- Hamiltoniano dado na base
:
- Condição inicial: a partícula está em
no instante . - Pergunta: qual o intervalo de tempo
que a partícula leva para atingir o estado pela primeira vez? (Entenda “atingir o estado ” como estar exatamente em — probabilidade igual a 1.) - Alternativas: (a)
, (b) , (c) , (d) , (e) .
Passo 2
Diagonalização do Hamiltoniano (autovalores).
- Vamos calcular os autovalores
de . Para a matriz a soma e a diferença dos autovalores são úteis. Defina
- Os autovalores são
Explicação curta: isso vem da solução do polinômio característico
. Aqui
é a separação energética entre as duas energias próprias.
Passo 3
Autovetores e ângulo de mistura.
- Introduzimos um ângulo
que descreve a mistura das bases “originais” com as bases de autovalores , definido por
- Os autovetores normalizados podem ser escolhidos como
Comentário didático:
mede quanto os estados de energia própria são “misturas” dos estados
e
. Quando
temos
(não há mistura).
Passo 4
Escrever o estado inicial na base de autovetores.
- A condição inicial
pode ser escrita como combinação dos autovetores:
Explicação: inverter as relações da base anterior e usar ortonormalidade.
Passo 5
Evolução temporal do estado.
- Cada autovetor evolve com um fator de fase
(princípio fundamental da evolução unitária). Assim
- Queremos a amplitude de encontrar
em :
Passo 6
Cálculo explícito da amplitude
.
- Usando
e obtemos
Fatorando:
- Use a identidade para diferença de exponenciais: com
,
- Assim (a fase global não importa para probabilidades):
Passo 7
Probabilidade de transição
.
- A probabilidade de estar em
é . Eliminando a fase global:
- Use
para simplificar:
- Em termos dos parâmetros
podemos escrever , logo
Passo 8
Quando a partícula atinge exatamente
(probabilidade 1)?
- Para
precisamos que dois fatores cooperem: -
, isto é para algum inteiro . - O prefator
deve ser igual a .
-
- A condição 2 dá
, que implica , ou seja . Conclusão importante: se então e a probabilidade máxima é menor que ; portanto a partícula nunca estará exatamente em em qualquer tempo finito. Neste caso a partícula nunca atinge com probabilidade unitária — portanto, se a pergunta exige probabilidade , o tempo seria infinito (nunca acontece). - Se, porém,
(caso degenerado), então e o prefator vale . A primeira vez que ocorre para , isto é
Usando
temos
, daí
No caso
isso reduz a
. Note que a expressão geral acima coincide com a alternativa (d).
Passo 9
Interpretação final e escolha entre as alternativas.
- Como o enunciado não impõe
, o caso geral tem possível e então a probabilidade máxima de encontrar é menor que ; portanto a partícula não atinge exatamente em tempo finito — ou seja, “pela primeira vez” isso não ocorre para nenhum . - Assim, para o enunciado geral a alternativa correta é (b)
. - Observação: se o problema explicitamente tivesse dito que
, então a alternativa correta seria (d). Mas sem essa hipótese, a resposta rigorosa é (b).
Resposta
(b)