O potencial do oscilador harmônico é dado por
. Qual o valor médio de
para o
-ésimo estado do Oscilador Harmônico? (dica:
, onde
e
são os operadores de escada).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede o valor médio do potencial do oscilador harmônico no estado
. As informações dadas são:
- O potencial é
. - A dica dá o operador posição em termos dos operadores de escada:
onde
e
são os operadores de criação e aniquilação (escada).
- Queremos
para o estado próprio de número .
Passo 2
Primeiro escrevemos o operador potencial usando a expressão de
. Temos
Substituindo
em termos de
e
,
Portanto o operador
fica, antes de tomar a média,
Passo 3
Simplificamos os fatores escalares fora dos operadores:
Logo
Passo 4
Expandimos o quadrado dos operadores:
Queremos a expectativa em
:
Passo 5
Avaliamoas parcelas uma a uma, usando a ação dos operadores de escada:
- A ação básica é
e . - Termos com dois aniquiladores ou duas criações dão vetores ortogonais a
, portanto suas expectativas são zero:
porque
e
, que são ortogonais a
.
- Para os termos cruzados:
pois
é o número de ocupação (operador número) e
é autovetor com autovalor
.
onde usei a identidade de comutador
.
Passo 6
Somando as parcelas não-nulas:
Então
Passo 7
Finalmente calculamos a média do potencial:
Cancelando
e simplificando
,
Observação didática rápida: isso mostra que a energia média total
se divide igualmente entre energia potencial e cinética no estado estacionário, cada uma valendo metade.