O potencial do oscilador harmônico é dado por V(x)=\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}. Qual o valor médio de V(x) para o n-ésimo estado do Oscilador Harmônico? (dica: \mathrm{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2 \mathrm{~m} \omega}}\left(a^{\dagger}+\mathrm{a}\right), onde a^{\dagger} e a são os operadores de escada).
(a) \hbar \omega\left(\mathrm{n}+\frac{1}{2}\right)
(b) 2 \hbar \omega\left(\mathrm{n}+\frac{1}{2}\right)
(c) \frac{1}{4} \hbar \omega\left(\mathrm{n}+\frac{1}{2}\right)
(d) \frac{1}{2} \hbar \omega\left(\mathrm{n}+\frac{1}{2}\right)
(e) \frac{1}{2} \hbar \omega(\mathrm{n}+1)

Passo 1

O enunciado pede o valor médio do potencial do oscilador harmônico no estado \,n. As informações dadas são:
  • O potencial é \;V(x)=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}.
  • A dica dá o operador posição em termos dos operadores de escada:
x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(a^{\dagger}+a\right),
onde a^{\dagger} e a são os operadores de criação e aniquilação (escada).
  • Queremos \langle V(x)\rangle_{n}=\langle n|V(x)|n\rangle para o estado próprio de número |n\rangle.

Passo 2

Primeiro escrevemos o operador potencial usando a expressão de x. Temos
V(x)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}.
Substituindo x em termos de a^{\dagger} e a,
x^{2}=\frac{\hbar}{2m\omega}\left(a^{\dagger}+a\right)^{2}.
Portanto o operador V fica, antes de tomar a média,
V=\frac{1}{2}m\omega^{2}\cdot\frac{\hbar}{2m\omega}\left(a^{\dagger}+a\right)^{2}.

Passo 3

Simplificamos os fatores escalares fora dos operadores:
\frac{1}{2}m\omega^{2}\cdot\frac{\hbar}{2m\omega}=\frac{\hbar\omega}{4}.
Logo
V=\frac{\hbar\omega}{4}\left(a^{\dagger}+a\right)^{2}.

Passo 4

Expandimos o quadrado dos operadores:
\left(a^{\dagger}+a\right)^{2}=(a^{\dagger})^{2}+a^{\dagger}a+aa^{\dagger}+a^{2}.
Queremos a expectativa em |n\rangle:
\langle n| \left(a^{\dagger}+a\right)^{2} |n\rangle = \langle n|(a^{\dagger})^{2}|n\rangle + \langle n|a^{\dagger}a|n\rangle + \langle n|aa^{\dagger}|n\rangle + \langle n|a^{2}|n\rangle.

Passo 5

Avaliamoas parcelas uma a uma, usando a ação dos operadores de escada:
  • A ação básica é \;a|n\rangle=\sqrt{n}\,|n-1\rangle e \;a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle.
  • Termos com dois aniquiladores ou duas criações dão vetores ortogonais a |n\rangle, portanto suas expectativas são zero:
\langle n|a^{2}|n\rangle = 0,\qquad \langle n|(a^{\dagger})^{2}|n\rangle = 0,
porque a^{2}|n\rangle\propto|n-2\rangle e (a^{\dagger})^{2}|n\rangle\propto|n+2\rangle, que são ortogonais a |n\rangle.
  • Para os termos cruzados:
\langle n|a^{\dagger}a|n\rangle = n,
pois a^{\dagger}a é o número de ocupação (operador número) e |n\rangle é autovetor com autovalor n.
\langle n|aa^{\dagger}|n\rangle = \langle n|(a^{\dagger}a+1)|n\rangle = n+1,
onde usei a identidade de comutador aa^{\dagger}=a^{\dagger}a+1.

Passo 6

Somando as parcelas não-nulas:
\langle n|\left(a^{\dagger}+a\right)^{2}|n\rangle = 0 + n + (n+1) + 0 = 2n+1.
Então
\langle n|x^{2}|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega}\,(2n+1) = \frac{\hbar}{m\omega}\left(n+\tfrac{1}{2}\right).

Passo 7

Finalmente calculamos a média do potencial:
\langle V\rangle_{n}=\frac{1}{2}m\omega^{2}\langle x^{2}\rangle =\frac{1}{2}m\omega^{2}\cdot\frac{\hbar}{m\omega}\left(n+\tfrac{1}{2}\right).
Cancelando m e simplificando \omega,
\langle V\rangle_{n}=\frac{1}{2}\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right).
Observação didática rápida: isso mostra que a energia média total \langle H\rangle_{n}=\hbar\omega(n+\tfrac{1}{2}) se divide igualmente entre energia potencial e cinética no estado estacionário, cada uma valendo metade.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right) ; (alternativa (d))

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