1. Um elétron de energia E atinge uma barreira quadrada de potencial com altura V_{0} e largura
    a. Assinale a alternativa verdadeira:
    a) A probabilidade de tunelamento através da barreira é não-nula para qualquer valor de energia abaixo da altura da barreira 0<E<V_{0}.
    b) A probabilidade de transmissão através da barreira é de 100 \% para qualquer energia maior que a altura da barreira, E>V_{0}.
    c) A probabilidade de tunelamento é de 100 \% para algumas energias abaixo da altura da barreira.
    d) A probabilidade de reflexão é de 100 \% para qualquer energia abaixo da altura da barreira 0<E<V_{0}.
    e) A probabilidade de reflexão é de 100 \% para qualquer energia acima da altura da barreira E>V_{0}.

Passo 1

O enunciado diz: um elétron de energia E incide sobre uma barreira retangular (quadrada) de potencial com altura V_{0} e largura a. Peça: assinalar a alternativa verdadeira entre as opções (a) a (e), que afirmam coisas sobre as probabilidades de tunelamento/transmissão/reflexão nos casos 0<E<V_{0} e E>V_{0}. Informações relevantes fornecidas:
  • Energia do elétron: E.
  • Altura da barreira: V_{0}.
  • Largura da barreira: a.
  • As alternativas comparam probabilidades de transmissão/reflexão para os dois regimes 0<E<V_{0} e E>V_{0}.
    A partir daqui vamos analisar, passo a passo, o comportamento quântico de uma partícula incidindo numa barreira finita e decidir qual alternativa é correta.

Passo 2

Modelagem da situação: escrever as funções de onda nas três regiões e definir os parâmetros importantes.
  • Região I (antes da barreira, x<0): há onda incidente e reflexa. Escrevemos
\psi_I(x)=A e^{ikx}+B e^{-ikx},
com k=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}}. Aqui A é amplitude da onda incidente e B da refletida.
  • Região II (dentro da barreira, 0<x<a): o comportamento depende de E em relação a V_{0}.
    • Se 0<E<V_{0} (caso de tunelamento), a solução tem decaimento exponencial:
    \psi_{II}(x)=C e^{\kappa x}+D e^{-\kappa x},com \kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}} real e positivo.
    • Se E>V_{0}, a solução na região II é oscilatória:
    \psi_{II}(x)=C' e^{ik_{2}x}+D' e^{-ik_{2}x},com k_{2}=\sqrt{\dfrac{2m(E-V_{0})}{\hbar^{2}}} real.
  • Região III (após a barreira, x>a): apenas onda transmitida para a direita:
\psi_{III}(x)=F e^{ikx}.
Explicando os parâmetros: m é a massa do elétron, \hbar é a constante de Planck reduzida. k é o número de onda na região livre e \kappa é a constante de decaimento dentro da barreira quando E<V_{0}. Esses k e \kappa vêm da equação de Schrödinger independente do tempo aplicada em cada região.

Passo 3

Condições de contorno e significado físico de T e R.
  • Impomos continuidade de \psi e de sua derivada \psi' em x=0 e x=a. Isso liga as constantes A,B,C,D,F.
  • A partir das amplitudes obtém-se as probabilidades:
    • Probabilidade de transmissão (coeficiente de transmissão) T é a razão do fluxo de probabilidade transmitido pelo fluxo incidente. Para ondas normais isso corresponde a |F/A|^{2} (com fatores de velocidades que aqui coincidem nas regiões I e III porque o potencial nas regiões 1 e 3 é o mesmo).
    • Probabilidade de reflexão R é |B/A|^{2}.
  • Conservação de probabilidade impõe
T+R=1.
Isso já nos diz imediatamente que nem T nem R podem ser simultaneamente maiores que 1; se um é 1, o outro é 0.

Passo 4

Expressão conhecida para T no caso 0<E<V_{0} (tunelamento) e interpretação.
  • Sem fazer toda a álgebra de casamento de contornos (que dá muitas contas), apresenta-se a forma padrão conhecida do coeficiente de transmissão para barreira retangular finita quando 0<E<V_{0}:
T=\left[1+\dfrac{V_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_{0}-E)}\right]^{-1},
onde já definimos \kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.
  • Interpretação desta fórmula:
    • O termo \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a) é sempre não-negativo e só é zero se \kappa a=0. Mas \kappa=0 implica V_{0}-E=0, ou seja E=V_{0}, que não é o caso quando consideramos 0<E<V_{0}.
    • Para qualquer 0<E<V_{0} com a>0 e V_{0}>E, temos \kappa>0 e \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)>0, então o denominador da expressão entre colchetes é maior que 1 e portanto 0<T<1.
    • Se a cresce muito (barreira muito larga) ou \kappa grande (barreira muito alta comparada a E), a \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a) cresce exponencialmente e T fica muito pequena, aproximando-se de zero, mas não é exatamente zero enquanto a for finito.
Conclusão parcial: para barreira de largura finita a e 0<E<V_{0}, T é estritamente positivo (não-nulo) e estritamente menor que 1.

Passo 5

Consequências físicas para as alternativas relacionadas a 0<E<V_{0}.
  • A alternativa (a) afirma: “A probabilidade de tunelamento através da barreira é não-nula para qualquer valor de energia abaixo da altura da barreira 0<E<V_{0}.” Com base na fórmula anterior e na explicação, isso é verdadeiro para qualquer barreira de largura finita a>0: o termo \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a) é finito e positivo, dando T>0.
  • A alternativa (d) afirma: “A probabilidade de reflexão é de 100\% para qualquer energia abaixo da altura da barreira 0<E<V_{0}.” Isso significaria R=1 e T=0. Mas já vimos que T>0 para a finito, logo (d) é falsa (apenas no limite a\to\infty ou V_{0}\to\infty a barreira tornaria T\to0, mas enunciado presume barreira finita).

Passo 6

Análise do caso E>V_{0} (energia acima da barreira) e comportamento de T.
  • Para E>V_{0} a onda dentro da barreira é oscilatória com número de onda k_{2}=\sqrt{\dfrac{2m(E-V_{0})}{\hbar^{2}}}. A expressão padrão do coeficiente de transmissão passa a ser, analogamente,
T=\left[1+\dfrac{V_{0}^{2}\sin^{2}(k_{2} a)}{4E(E-V_{0})}\right]^{-1}.
  • Observações importantes:
    • O termo \sin^{2}(k_{2}a) pode ser zero para certos valores de k_{2}a, por exemplo quando k_{2}a=n\pi com n\in\mathbb{Z}. Nesses pontos a segunda parcela some e fica T=1. Isso corresponde a interferência construtiva que elimina a reflexão — fenômeno conhecido como ressonância de transmissão.
    • Entretanto, para energias gerais E>V_{0} o \sin^{2}(k_{2}a) não é zero, de modo que T<1. Portanto não é verdade que a transmissão seja 100\% para qualquer energia acima de V_{0}; só ocorre em energias discretas especiais.
Conclusão parcial: alternativa (b) ("probabilidade de transmissão 100\% para qualquer E>V_{0}") é falsa, mas existe possibilidade de T=1 para algumas energias E>V_{0}.

Passo 7

Análise das alternativas restantes e decisão final:
  • (a) Verdadeira — já demonstrado: para barreira finita e 0<E<V_{0} existe tunelamento com T>0.
  • (b) Falsa — para E>V_{0} existe transmissão total T=1 apenas em energias ressonantes discretas; não vale “para qualquer energia”.
  • (c) Falsa — afirma que “A probabilidade de tunelamento é de 100\% para algumas energias abaixo da altura da barreira.” Para uma barreira retangular única e finita, quando E<V_{0} a solução no interior é exponencial (decrescente) e a expressão com \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a) impede T ser exatamente 1. Portanto não existem energias E<V_{0} com T=1 no caso de uma única barreira finita.
  • (d) Falsa — refleção 100\% para 0<E<V_{0} seria T=0; mas mostramos T>0 para largura finita.
  • (e) Falsa — para E>V_{0} a reflexão não é 100\% em geral; além disso por conservação R+T=1 e já vimos casos com T=1 (então R=0).
Portanto apenas a alternativa (a) está correta.

Resposta

(a)

Exercícios relacionados