- Um elétron de energia
atinge uma barreira quadrada de potencial com altura
e largura
a. Assinale a alternativa verdadeira:
a) A probabilidade de tunelamento através da barreira é não-nula para qualquer valor de energia abaixo da altura da barreira
.
b) A probabilidade de transmissão através da barreira é de
para qualquer energia maior que a altura da barreira,
.
c) A probabilidade de tunelamento é de
para algumas energias abaixo da altura da barreira.
d) A probabilidade de reflexão é de
para qualquer energia abaixo da altura da barreira
.
e) A probabilidade de reflexão é de
para qualquer energia acima da altura da barreira
.
a. Assinale a alternativa verdadeira:
a) A probabilidade de tunelamento através da barreira é não-nula para qualquer valor de energia abaixo da altura da barreira
b) A probabilidade de transmissão através da barreira é de
c) A probabilidade de tunelamento é de
d) A probabilidade de reflexão é de
e) A probabilidade de reflexão é de
Passo 1
O enunciado diz: um elétron de energia
incide sobre uma barreira retangular (quadrada) de potencial com altura
e largura
. Peça: assinalar a alternativa verdadeira entre as opções (a) a (e), que afirmam coisas sobre as probabilidades de tunelamento/transmissão/reflexão nos casos
e
. Informações relevantes fornecidas:
- Energia do elétron:
. - Altura da barreira:
. - Largura da barreira:
. - As alternativas comparam probabilidades de transmissão/reflexão para os dois regimes
e .
A partir daqui vamos analisar, passo a passo, o comportamento quântico de uma partícula incidindo numa barreira finita e decidir qual alternativa é correta.
Passo 2
Modelagem da situação: escrever as funções de onda nas três regiões e definir os parâmetros importantes.
- Região I (antes da barreira,
): há onda incidente e reflexa. Escrevemos
com
. Aqui
é amplitude da onda incidente e
da refletida.
- Região II (dentro da barreira,
): o comportamento depende de em relação a . - Se
(caso de tunelamento), a solução tem decaimento exponencial:
com real e positivo. - Se
, a solução na região II é oscilatória:
com real. - Se
- Região III (após a barreira,
): apenas onda transmitida para a direita:
Explicando os parâmetros:
é a massa do elétron,
é a constante de Planck reduzida.
é o número de onda na região livre e
é a constante de decaimento dentro da barreira quando
. Esses
e
vêm da equação de Schrödinger independente do tempo aplicada em cada região.
Passo 3
Condições de contorno e significado físico de
e
.
- Impomos continuidade de
e de sua derivada em e . Isso liga as constantes . - A partir das amplitudes obtém-se as probabilidades:
- Probabilidade de transmissão (coeficiente de transmissão)
é a razão do fluxo de probabilidade transmitido pelo fluxo incidente. Para ondas normais isso corresponde a (com fatores de velocidades que aqui coincidem nas regiões I e III porque o potencial nas regiões 1 e 3 é o mesmo). - Probabilidade de reflexão
é .
- Probabilidade de transmissão (coeficiente de transmissão)
- Conservação de probabilidade impõe
Isso já nos diz imediatamente que nem
nem
podem ser simultaneamente maiores que
; se um é
, o outro é
.
Passo 4
Expressão conhecida para
no caso
(tunelamento) e interpretação.
- Sem fazer toda a álgebra de casamento de contornos (que dá muitas contas), apresenta-se a forma padrão conhecida do coeficiente de transmissão para barreira retangular finita quando
:
onde já definimos
.
- Interpretação desta fórmula:
- O termo
é sempre não-negativo e só é zero se . Mas implica , ou seja , que não é o caso quando consideramos . - Para qualquer
com e , temos e , então o denominador da expressão entre colchetes é maior que e portanto . - Se
cresce muito (barreira muito larga) ou grande (barreira muito alta comparada a ), a cresce exponencialmente e fica muito pequena, aproximando-se de zero, mas não é exatamente zero enquanto for finito.
- O termo
Conclusão parcial: para barreira de largura finita
e
,
é estritamente positivo (não-nulo) e estritamente menor que
.
Passo 5
Consequências físicas para as alternativas relacionadas a
.
- A alternativa (a) afirma: “A probabilidade de tunelamento através da barreira é não-nula para qualquer valor de energia abaixo da altura da barreira
.” Com base na fórmula anterior e na explicação, isso é verdadeiro para qualquer barreira de largura finita : o termo é finito e positivo, dando . - A alternativa (d) afirma: “A probabilidade de reflexão é de
para qualquer energia abaixo da altura da barreira .” Isso significaria e . Mas já vimos que para finito, logo (d) é falsa (apenas no limite ou a barreira tornaria , mas enunciado presume barreira finita).
Passo 6
Análise do caso
(energia acima da barreira) e comportamento de
.
- Para
a onda dentro da barreira é oscilatória com número de onda . A expressão padrão do coeficiente de transmissão passa a ser, analogamente,
- Observações importantes:
- O termo
pode ser zero para certos valores de , por exemplo quando com . Nesses pontos a segunda parcela some e fica . Isso corresponde a interferência construtiva que elimina a reflexão — fenômeno conhecido como ressonância de transmissão. - Entretanto, para energias gerais
o não é zero, de modo que . Portanto não é verdade que a transmissão seja para qualquer energia acima de ; só ocorre em energias discretas especiais.
- O termo
Conclusão parcial: alternativa (b) ("probabilidade de transmissão
para qualquer
") é falsa, mas existe possibilidade de
para algumas energias
.
Passo 7
Análise das alternativas restantes e decisão final:
- (a) Verdadeira — já demonstrado: para barreira finita e
existe tunelamento com . - (b) Falsa — para
existe transmissão total apenas em energias ressonantes discretas; não vale “para qualquer energia”. - (c) Falsa — afirma que “A probabilidade de tunelamento é de
para algumas energias abaixo da altura da barreira.” Para uma barreira retangular única e finita, quando a solução no interior é exponencial (decrescente) e a expressão com impede ser exatamente . Portanto não existem energias com no caso de uma única barreira finita. - (d) Falsa — refleção
para seria ; mas mostramos para largura finita. - (e) Falsa — para
a reflexão não é em geral; além disso por conservação e já vimos casos com (então ).
Portanto apenas a alternativa (a) está correta.
Resposta
(a)