Considere um elétron, um próton e uma partícula alfa (núcleo de hélio), cada uma confinada separadamente em poços de tamanhos idênticos. Qual partícula tem o comprimento de onda mais longo quando o sistema está no seu estado fundamental?
Escolha uma opção:
a. O elétron.
b. O próton
c. A partícula alfa.
d. O valor do comprimento de onda do estado fundamental é o mesmo para todas as três partículas.
e. Não é possível determinar qual terá o comprimento de onda maior apenas com as informações dadas na questão.
Escolha uma opção:
a. O elétron.
b. O próton
c. A partícula alfa.
d. O valor do comprimento de onda do estado fundamental é o mesmo para todas as três partículas.
e. Não é possível determinar qual terá o comprimento de onda maior apenas com as informações dadas na questão.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente tem três partículas diferentes: um elétron, um próton e uma partícula alfa (que é tipo o núcleo de um hélio). Cada uma dessas partículas está presa em um “poço” (imagina como uma caixa) que tem o mesmo tamanho para todas elas. A pergunta é: qual dessas partículas vai ter o comprimento de onda mais longo quando estão no estado fundamental, ou seja, no estado de menor energia possível.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a relação entre a quantidade de movimento das partículas e o comprimento de onda delas, usando conceitos de física quântica, como a relação de de Broglie.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de de Broglie. É uma ideia que associa uma onda a uma partícula, e a fórmula é:
Onde:
-
é o comprimento de onda, -
é a constante de Planck, -
é a quantidade de movimento da partícula.
Isso significa que quanto maior a quantidade de movimento (
), menor é o comprimento de onda (
), e vice-versa.
Passo 3
Agora, como as partículas estão confinadas em um poço de tamanho igual, vamos pensar no estado fundamental. No estado de menor energia, a quantidade de movimento das partículas está relacionada com a massa delas. A quantidade de movimento médio está associada à energia cinética, que no estado fundamental depende da massa e do tamanho do poço.
A energia do estado fundamental em um poço de potencial infinito é dada por:
Onde:
-
é a energia, -
é a constante reduzida de Planck, -
é a massa da partícula, -
é o tamanho do poço.
Isso mostra que partículas mais leves (
menor) terão mais energia no estado fundamental se o tamanho do poço for o mesmo.
Passo 4
Voltando à fórmula do comprimento de onda de de Broglie:
E sabendo que, no estado fundamental, a quantidade de movimento
está relacionada com a massa
e a energia, podemos concluir que partículas mais leves terão um
maior para manter a energia baixa, o que levaria a um comprimento de onda menor. Mas isso está um pouco confuso, então vamos pensar de outra maneira.
No estado fundamental, a partícula tem uma quantidade de movimento mínima necessária para estar confinada no poço. Essa quantidade de movimento é inversamente proporcional ao tamanho do poço e diretamente proporcional à massa. Portanto:
Então, o comprimento de onda será:
Isso mostra que, para um mesmo tamanho de poço
, quanto maior a massa
, menor será
, e consequentemente, maior será
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar isso às nossas partículas:
- Elétron: tem uma massa bem menor.
- Próton: tem uma massa maior que o elétron.
- Partícula alfa: tem uma massa ainda maior (é basicamente dois prótons e dois nêutrons juntos).
Seguindo a relação
, quanto maior a massa
, maior o comprimento de onda
.
Passo 6
Então, comparando as massas:
Isso implica que:
Mas, na verdade, pelo cálculo, é o contrário: partículas mais massivas têm menor
. Vamos corrigir isso:
Se
, então:
Então:
Isso significa que o elétron tem o comprimento de onda mais longo.
Resposta
A opção correta é a a. O elétron.