Considere um elétron, um próton e uma partícula alfa (núcleo de hélio), cada uma confinada separadamente em poços de tamanhos idênticos. Qual partícula tem o comprimento de onda mais longo quando o sistema está no seu estado fundamental?
Escolha uma opção:
a. O elétron.
b. O próton
c. A partícula alfa.
d. O valor do comprimento de onda do estado fundamental é o mesmo para todas as três partículas.
e. Não é possível determinar qual terá o comprimento de onda maior apenas com as informações dadas na questão.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente tem três partículas diferentes: um elétron, um próton e uma partícula alfa (que é tipo o núcleo de um hélio). Cada uma dessas partículas está presa em um “poço” (imagina como uma caixa) que tem o mesmo tamanho para todas elas. A pergunta é: qual dessas partículas vai ter o comprimento de onda mais longo quando estão no estado fundamental, ou seja, no estado de menor energia possível.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a relação entre a quantidade de movimento das partículas e o comprimento de onda delas, usando conceitos de física quântica, como a relação de de Broglie.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de de Broglie. É uma ideia que associa uma onda a uma partícula, e a fórmula é:
lambda = hp
Onde:
  • lambda é o comprimento de onda,
  • h é a constante de Planck,
  • p é a quantidade de movimento da partícula.
Isso significa que quanto maior a quantidade de movimento ( p), menor é o comprimento de onda ( lambda), e vice-versa.

Passo 3

Agora, como as partículas estão confinadas em um poço de tamanho igual, vamos pensar no estado fundamental. No estado de menor energia, a quantidade de movimento das partículas está relacionada com a massa delas. A quantidade de movimento médio está associada à energia cinética, que no estado fundamental depende da massa e do tamanho do poço.
A energia do estado fundamental em um poço de potencial infinito é dada por:
E = pi^2 hbar^22mL^2
Onde:
  • E é a energia,
  • hbar é a constante reduzida de Planck,
  • m é a massa da partícula,
  • L é o tamanho do poço.
Isso mostra que partículas mais leves ( m menor) terão mais energia no estado fundamental se o tamanho do poço for o mesmo.

Passo 4

Voltando à fórmula do comprimento de onda de de Broglie:
lambda = hp
E sabendo que, no estado fundamental, a quantidade de movimento p está relacionada com a massa m e a energia, podemos concluir que partículas mais leves terão um p maior para manter a energia baixa, o que levaria a um comprimento de onda menor. Mas isso está um pouco confuso, então vamos pensar de outra maneira.
No estado fundamental, a partícula tem uma quantidade de movimento mínima necessária para estar confinada no poço. Essa quantidade de movimento é inversamente proporcional ao tamanho do poço e diretamente proporcional à massa. Portanto:
Então, o comprimento de onda será:
p propto raizmL^2 implies p propto raizmL
Isso mostra que, para um mesmo tamanho de poço lambda propto 1p propto Lraizm , quanto maior a massa L, menor será m, e consequentemente, maior será raizm.

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso às nossas partículas:
  • Elétron: tem uma massa bem menor.
  • Próton: tem uma massa maior que o elétron.
  • Partícula alfa: tem uma massa ainda maior (é basicamente dois prótons e dois nêutrons juntos).
Seguindo a relação lambda propto Lraizm, quanto maior a massa m, maior o comprimento de onda lambda.

Passo 6

Então, comparando as massas:
massa do elétron < massa do próton < massa da partícula alfa éóí
Isso implica que:
lambdaelétron < lambdapróton < lambdapartícula alfa éóí
Mas, na verdade, pelo cálculo, é o contrário: partículas mais massivas têm menor lambda. Vamos corrigir isso:
Se lambda propto 1raizm, então:
Partícula com maior massa tem menor lambda í
Então:
lambdaelétron > lambdapróton > lambdapartícula alfa éóí
Isso significa que o elétron tem o comprimento de onda mais longo.

Resposta

A opção correta é a a. O elétron.

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