Considere que um elétrons está aprisionado em um poço de largura
e sua função de onda dentro do poço é dada por
e nula para regiões externas ao poço. Qual é a probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado (
) na região entre
e
?
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem um elétron preso num poço de potencial, que é tipo um espaço onde ele fica confinado. A largura desse poço é $ L = 150 , nm $. A função de onda do elétron nesse poço é dada por:
E fora desse poço, a função de onda é zero. A pergunta é: qual a probabilidade de encontrar o elétron no primeiro estado excitado ($ n = 2 $) na região entre $ x_1 = 0,00 $ e $ x_2 = 0,27L $? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, estados excitados e como calcular probabilidades usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar uma partícula, como o elétron, em uma determinada região é dada pelo quadrado da função de onda nessa região, ou seja, $ |\psi_n(x)|^2 $. No nosso caso, queremos a probabilidade no estado $ n = 2 $, então a função de onda é:
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de detectar o elétron entre $ x = 0 $ e $ x = 0,27L $, vamos calcular a integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:
Substituindo $ \psi_{2}(x) $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Então, a integral fica:
Para integrar $ \sin^2 $, usamos a fórmula trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo nos limites:
Simplificando:
Calculando $ \sin(1,08 \pi) $:
Então:
Resposta
A probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado entre $ x = 0 $ e $ x = 0,27L $ é aproximadamente $ 28,98% $.