Considere que um elétrons está aprisionado em um poço de largura L=150 nm e sua função de onda dentro do poço é dada por psin(x)=raiz2L sen(n piL x) e nula para regiões externas ao poço. Qual é a probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado ( n=2 ) na região entre x1=0,00 e x2=0,27 L ?

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem um elétron preso num poço de potencial, que é tipo um espaço onde ele fica confinado. A largura desse poço é $ L = 150 , nm $. A função de onda do elétron nesse poço é dada por:
L = 150 , nm
E fora desse poço, a função de onda é zero. A pergunta é: qual a probabilidade de encontrar o elétron no primeiro estado excitado ($ n = 2 $) na região entre $ x_1 = 0,00 $ e $ x_2 = 0,27L $? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, estados excitados e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar uma partícula, como o elétron, em uma determinada região é dada pelo quadrado da função de onda nessa região, ou seja, $ |\psi_n(x)|^2 $. No nosso caso, queremos a probabilidade no estado $ n = 2 $, então a função de onda é:
|psin(x)|^2

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de detectar o elétron entre $ x = 0 $ e $ x = 0,27L $, vamos calcular a integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:
x = 0
Substituindo $ \psi_{2}(x) $:
x = 0,27L

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
|psi2(x)|^2 = 2L sin^2(2 piL x)
Então, a integral fica:
P = 2L integral0^0,27L sin^2(2 piL x) , dx
Para integrar $ \sin^2 $, usamos a fórmula trigonométrica:
sin^2
Aplicando isso:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
P = 1L [ integral0^0,27L 1 , dx - integral0^0,27L cos(4 piL x) , dx ]
Calculando as integrais:
integral 1 , dx = x
integral cos(4 piL x) , dx = L4 pi sin(4 piL x)
Substituindo nos limites:
P = 1L [ (0,27L - 0) - L4 pi ( sin(4 piL cdot 0,27L) - sin(0) ) ]
Simplificando:
P = 1L [ 0,27L - L4 pi sin(1,08 pi) ] = 0,27 - 14 pi sin(1,08 pi)
Calculando $ \sin(1,08 \pi) $:
sin(1,08 pi)
Então:
sin(1,08 pi) = sin(pi + 0,08 pi) = -sin(0,08 pi) approx -sin(0,2513) approx -0,249

Resposta

A probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado entre $ x = 0 $ e $ x = 0,27L $ é aproximadamente $ 28,98% $.

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