Considere uma elipse de equação \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1. A equação da elipse obtida aplicando-se uma rotação de 30^{\circ} no sentido antihorário e centro na origem é
Escolha uma opção:
15 x^{2}+8 \sqrt{3} x y+12 y^{2}=14
5 x^{2}+5 \sqrt{3} x y+12 y^{2}=16
12 x^{2}-\sqrt{3} x y+12 y^{2}=16
5 x^{2}-8 \sqrt{3} x y+13 y^{2}=14
7 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+13 y^{2}=16

Passo 1

Resumindo: temos a elipse
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1
e queremos obter a equação da elipse resultante de uma rotação de 30^\circ no sentido anti-horário em torno da origem. O conteúdo usado será a substituição de coordenadas via rotação de eixos.

Passo 2

Para rotacionar a elipse de 30^\circ no sentido anti-horário, usamos a relação entre as coordenadas originais (x',y') (antes da rotação) e as novas coordenadas (x,y) (depois da rotação):
x' = x\cos\varphi + y\sin\varphi,
y' = -\,x\sin\varphi + y\cos\varphi,
com \varphi=30^\circ.

Passo 3

Substituindo \varphi=30^\circ, \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\tfrac12, temos
x' = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x + \frac12\,y,
y' = -\frac12\,x + \frac{\sqrt{3}}{2}\,y.

Passo 4

Agora plugamos em \tfrac{x'^{2}}{4}+y'^{2}=1:
\frac{1}{4}\biggl(\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac12y\biggr)^{2} \;+\;\bigl(-\tfrac12x+\tfrac{\sqrt{3}}{2}y\bigr)^{2}=1.
Calculando cada parte:
\frac{1}{4}\Bigl(\frac{3}{4}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}xy+\frac{1}{4}y^{2}\Bigr) =\frac{3}{16}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}xy+\frac{1}{16}y^{2},
\bigl(-\tfrac12x+\tfrac{\sqrt{3}}{2}y\bigr)^{2} =\frac{1}{4}x^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}xy+\frac{3}{4}y^{2}.
Somando termos semelhantes:
\Bigl(\frac{3}{16}+\frac{1}{4}\Bigr)x^{2} +\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)xy +\Bigl(\frac{1}{16}+\frac{3}{4}\Bigr)y^{2} =1,
isto é
\frac{7}{16}x^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{8}xy+\frac{13}{16}y^{2}=1.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 16 para obter coeficientes inteiros:
7x^{2}-6\sqrt{3}\,xy+13y^{2}=16.
Comparando com as opções dadas, essa é a quinta.

Resposta

7x^{2}-6\sqrt{3}\,xy+13y^{2}=16

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