Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
I. \lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{2 x}{x-4}-\frac{8}{x-4}\right)=\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x}{x-4}-\lim _{x \rightarrow 4} \frac{8}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a seguinte propriedade de limites: \displaystyle \lim_{x\to 4}\bigl(\tfrac{2x}{x-4}-\tfrac{8}{x-4}\bigr)=\lim_{x\to 4}\tfrac{2x}{x-4}-\lim_{x\to 4}\tfrac{8}{x-4}.
O conteúdo aqui é a regra que diz que \lim(f-g)=\lim f-\lim g só vale quando ambos \lim f e \lim g existem (são finitos).

Passo 2

Calculemos o limite à esquerda simplificando a expressão antes de aplicar o limite.
\frac{2x}{x-4}-\frac{8}{x-4} =\frac{2x-8}{x-4} =\frac{2(x-4)}{x-4} =2,\quad x\neq4.
Portanto
\lim_{x\to4}\bigl(\tfrac{2x}{x-4}-\tfrac{8}{x-4}\bigr) =\lim_{x\to4}2 =2.

Passo 3

Agora avaliemos separadamente os dois limites do lado direito: \displaystyle \lim_{x\to4}\tfrac{2x}{x-4} e \displaystyle \lim_{x\to4}\tfrac{8}{x-4}.
Ao aproximar x de 4, o denominador x-4 tende a zero enquanto os numeradores tendem a 8. Logo cada um desses limites diverge para \pm\infty (não existe limite finito).

Passo 4

A propriedade
\lim(f-g)=\lim f - \lim g
só é válida se \lim f e \lim g existirem finitamente. Aqui temos que o lado esquerdo vale 2, mas o lado direito “-∞ – ∞” não está definido como número real. Logo a igualdade falha.

Resposta

A afirmação é falsa.

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