Demonstre o Critério para uma Diferncial Exata a seguir:
Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R do plano definida por a<x<b, c<y<d. Então, uma condição necessária e suficiente para que
M(x, y) d x+N(x, y) d y
seja uma diferencial exata é :
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}

Passo 1

O enunciado trata de identificar quando a forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy
é exata, isto é, quando existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
d\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\,dy = M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy.
As hipóteses são que M e N têm derivadas parciais contínuas em uma região retangular R. O objetivo é mostrar que a condição
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
é necessária e suficiente para a exatidão da diferencial.

Passo 2

(Necessidade) Suponha que exista \varphi(x,y) com d\varphi = M\,dx + N\,dy. Então, por definição,
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = N.
Como \varphi tem segundas derivadas contínuas em R, o teorema de Schwarz garante
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\Bigr) = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\,\partial x} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\Bigr) = \frac{\partial N}{\partial x}.
Logo, a igualdade \partial M/\partial y = \partial N/\partial x é necessária.

Passo 3

(Suficiência – construção de \varphi) Escolha um ponto base (x_0,y_0) em R e defina
\varphi(x,y) = \int_{x_0}^{x} M\bigl(t,y\bigr)\,dt + \int_{y_0}^{y} N\bigl(x_0,s\bigr)\,ds.
Como M e N têm parciais contínuas e \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, essa \varphi está bem definida e tem derivadas parciais contínuas em R.

Passo 4

(Verificação de d\varphi = M\,dx + N\,dy)
Calcule
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{d}{dx}\int_{x_0}^{x} M(t,y)\,dt + \frac{\partial}{\partial x}\int_{y_0}^{y} N(x_0,s)\,ds = M(x,y),
pois o segundo termo não depende de x. Agora,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \int_{x_0}^{x} \frac{\partial}{\partial y}M(t,y)\,dt + N\bigl(x_0,y\bigr) = \int_{x_0}^{x} \frac{\partial N}{\partial x}(t,y)\,dt + N(x_0,y),
onde usamos \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Integrando \partial N/\partial x de t=x_0 até t=x obtemos
\int_{x_0}^{x} \frac{\partial N}{\partial x}(t,y)\,dt = N(x,y) - N(x_0,y),
logo
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \bigl[N(x,y) - N(x_0,y)\bigr] + N(x_0,y) = N(x,y).
Isso mostra que
d\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\,dy = M\,dx + N\,dy,
ou seja, a forma é exata.

Resposta

Demonstra-se assim que, sob as hipóteses do enunciado,
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy
é exata se, e somente se,
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Exercícios relacionados