Demonstre o Critério para uma Diferncial Exata a seguir:
Sejam
e
funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular
do plano definida por
. Então, uma condição necessária e suficiente para que
seja uma diferencial exata é :
Passo 1
O enunciado trata de identificar quando a forma diferencial
é exata, isto é, quando existe uma função potencial
tal que
As hipóteses são que
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região retangular
. O objetivo é mostrar que a condição
é necessária e suficiente para a exatidão da diferencial.
Passo 2
(Necessidade) Suponha que exista
com
. Então, por definição,
Como
tem segundas derivadas contínuas em
, o teorema de Schwarz garante
Logo, a igualdade
é necessária.
Passo 3
(Suficiência – construção de
) Escolha um ponto base
em
e defina
Como
e
têm parciais contínuas e
, essa
está bem definida e tem derivadas parciais contínuas em
.
Passo 4
(Verificação de
)
Calcule
Calcule
pois o segundo termo não depende de
. Agora,
onde usamos
. Integrando
de
até
obtemos
logo
Isso mostra que
ou seja, a forma é exata.
Resposta
Demonstra-se assim que, sob as hipóteses do enunciado,
é exata se, e somente se,