Encontre o limite.
15. \lim _{x \rightarrow \pi^{-}} \ln (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to\pi^-}\ln\bigl(\operatorname{sen} x\bigr).
Aqui vamos usar conhecimento sobre limites de funções logarítmicas e o comportamento de \operatorname{sen} x perto de x=\pi.

Passo 2

Para que \ln(\operatorname{sen} x) esteja definido, precisamos de
\operatorname{sen} x>0.
Isso ocorre para x em (0,\pi). Como estamos aproximando x de \pi pela esquerda, de fato \operatorname{sen} x permanece positivo, mas tende a zero.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de \operatorname{sen} x quando x\to\pi^-. Colocando
t=\pi-x,
vemos que t\to0^+ e
\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - t) = \operatorname{sen} t.
Para t pequeno, vale a aproximação \operatorname{sen} t\approx t.

Passo 4

Substituindo \operatorname{sen} x \approx t = \pi - x em \ln(\operatorname{sen} x), obtemos
\ln\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\approx \ln\bigl(\pi-x\bigr).
Como \pi-x\to0^+, sabemos que \ln(\pi-x)\to-\infty.

Resposta

-\infty

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