Determine os vértices das seguintes hipérboles:
(a) Que passa por (3,5) e tem focos (-1,1) e (-1,5)
(b) Que passa por (-1,-1) e tem focos (-2,-2) e (2,2).

Passo 1

O problema trata de duas hipérboles definidas pelos seus focos e por um ponto que pertence a cada hipérbole. Para encontrar os vértices usamos a definição clássica: dado um ponto P da hipérbole e os focos F1,F2, a diferença das distâncias |PF1 - PF2| é constante e igual a 2a. O centro C é o ponto médio de F1F2, o valor c é a distância de C a um foco, e os vértices ficam em Cpm a ao longo do eixo transverso (a reta que passa pelos focos).

Passo 2

(a) Focos F1=(-1,1) e F2=(-1,5).
O centro é o ponto médio
C=l(-1,1+52r)=(-1,3)
A distância entre focos é 4, logo
c=2
Como os focos têm mesma abscissa, o eixo transverso é vertical.

Passo 3

O ponto dado é P=(3,5). Calculamos
d1 = PF1 = raiz(3+1)^2 + (5-1)^2 = raiz16+16 = 4raiz2,
d2 = PF2 = raiz(3+1)^2 + (5-5)^2 = raiz16+0=4
A diferença das distâncias é
2a = |d1 - d2| = 4raiz2 - 4,
portanto
a = 4raiz2 - 42 = 2raiz2 - 2

Passo 4

Como o eixo transverso é vertical, os vértices estão em
(-1,,3pm a)
isto é
(-1,,3 + (2raiz2-2)) e (-1,,3 - (2raiz2-2))

Passo 5

(b) Focos F1=(-2,-2) e F2=(2,2).
O centro é
C=l(-2+22,-2+22r)=(0,0)
A distância entre focos é raiz(4)^2+(4)^2=4raiz2, logo
c=2raiz2
O eixo transverso é a reta y=x.

Passo 6

O ponto P=(-1,-1) pertence à hipérbole. Calculamos
d1 = PF1 = raiz(-1+2)^2+(-1+2)^2=raiz1+1=raiz2,
d2 = PF2 = raiz(-1-2)^2+(-1-2)^2=raiz9+9=3raiz2
Então
2a = |d2-d1| = 3raiz2 - raiz2 =2raiz2,
e
a = raiz2

Passo 7

O eixo transverso está na direção do vetor (1,1), cujo versor é l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r). Assim os vértices são
C pm al(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = (0,0)pmraiz2l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =(pm1,pm1)

Resposta

(a) Os vértices são
l(-1,,3 + (2raiz2-2)r) e l(-1,,3 - (2raiz2-2)r)
(b) Os vértices são (-1,-1) e (1,1).

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