Determine os vértices das seguintes hipérboles:
(a) Que passa por
e tem focos
e
…
(b) Que passa por
e tem focos
e
.
(a) Que passa por
(b) Que passa por
Passo 1
O problema trata de duas hipérboles definidas pelos seus focos e por um ponto que pertence a cada hipérbole. Para encontrar os vértices usamos a definição clássica: dado um ponto
da hipérbole e os focos
, a diferença das distâncias
é constante e igual a
. O centro
é o ponto médio de
, o valor
é a distância de
a um foco, e os vértices ficam em
ao longo do eixo transverso (a reta que passa pelos focos).
Passo 2
(a) Focos
e
.
O centro é o ponto médio
O centro é o ponto médio
A distância entre focos é
, logo
Como os focos têm mesma abscissa, o eixo transverso é vertical.
Passo 3
O ponto dado é
. Calculamos
A diferença das distâncias é
portanto
Passo 4
Como o eixo transverso é vertical, os vértices estão em
isto é
Passo 5
(b) Focos
e
.
O centro é
O centro é
A distância entre focos é
, logo
O eixo transverso é a reta
.
Passo 6
O ponto
pertence à hipérbole. Calculamos
Então
e
Passo 7
O eixo transverso está na direção do vetor
, cujo versor é
. Assim os vértices são
Resposta
(a) Os vértices são
(b) Os vértices são
e
.