Considere uma elipse de focos
e
, tal que a distância entre os seus vértices
e
é dada por
. Escreva a equação cartesiana dessa elipse na forma
(a) Quais são os coeficientes
e
?
(b) Quais os vértices dessa elipse?
(b) Quais os vértices dessa elipse?
Passo 1
O enunciado dá uma elipse cujos focos são
e cuja distância entre os vértices
e
é
Como para uma elipse valem
vemos que
, ou seja,
. Nosso objetivo é achar a equação geral
e também as coordenadas dos vértices.
Passo 2
Calcular centro, semi-distância focal
e semi-eixo menor
.
O centro é o ponto médio dos focos:
O centro é o ponto médio dos focos:
A distância do centro a cada foco é
Como
, o semi-eixo menor satisfaz
Passo 3
Escolhemos um sistema
girado de
em torno da origem, de modo que o eixo
fique alinhado à reta
. Logo
No sistema
a elipse tem equação padrão
Passo 4
Substituindo
e
em termos de
e simplificando:
Multiplicando por
:
Daí os coeficientes na forma
são:
Passo 5
Os vértices principais estão a distância
do centro ao longo da direção de ângulo
, ou seja, do vetor unitário
. Assim,
Resposta
(a)
(b) Os vértices são e
.
(b) Os vértices são