Considere uma elipse de focos F1=(1,1) e F2=(-1,-1), tal que a distância entre os seus vértices V1 e V2 é dada por d(V1, V2)=4. Escreva a equação cartesiana dessa elipse na forma
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
(a) Quais são os coeficientes A, B, C, D, E e F ?
(b) Quais os vértices dessa elipse?

Passo 1

O enunciado dá uma elipse cujos focos são
F1=(1,1), F2=(-1,-1)
e cuja distância entre os vértices V1 e V2 é
d(V1,V2)=4
Como para uma elipse valem
d(V1,V2)=2a,
vemos que 2a=4, ou seja, a=2. Nosso objetivo é achar a equação geral
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
e também as coordenadas dos vértices.

Passo 2

Calcular centro, semi-distância focal c e semi-eixo menor b.
O centro é o ponto médio dos focos:
C=l(tfrac1-12,,tfrac1+(-1)2r)=(0,0)
A distância do centro a cada foco é
c=raiz(1-0)^2+(1-0)^2=raiz2
Como a=2, o semi-eixo menor satisfaz
b=raiza^2-c^2=raiz4-2=raiz2

Passo 3

Escolhemos um sistema (X,Y) girado de 45^circ em torno da origem, de modo que o eixo X fique alinhado à reta y=x. Logo
X = xcos45^circ + ysin45^circ = raiz22(x+y),
Y = -,xsin45^circ + ycos45^circ = raiz22(-x+y)
No sistema (X,Y) a elipse tem equação padrão
X^2a^2+Y^2b^2=1 Longrightarrow X^24+Y^22=1

Passo 4

Substituindo X e Y em termos de x,y e simplificando:
l(tfracraiz22(x+y)r)^24 +l(tfracraiz22(y-x)r)^22 =1 Longrightarrow (x+y)^28+(y-x)^24=1
Multiplicando por 8:
(x+y)^2 +2,(y-x)^2 =8 Longrightarrow x^2+2xy+y^2 +2(x^2-2xy+y^2)=8
3x^2 -2xy +3y^2 -8=0
Daí os coeficientes na forma Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 são:
A=3, B=-2, C=3, D=0, E=0, F=-8

Passo 5

Os vértices principais estão a distância a=2 do centro ao longo da direção de ângulo 45^circ, ou seja, do vetor unitário l(tfracraiz22,tfracraiz22r). Assim,
V1 = +2l(tfracraiz22,tfracraiz22r)=(raiz2,raiz2),
V2 = -2l(tfracraiz22,tfracraiz22r)=(-raiz2,-raiz2)

Resposta

(a) A=3,;B=-2,;C=3,;D=0,;E=0,;F=-8
(b) Os vértices são V1=(raiz2,raiz2) e V2=(-raiz2,-raiz2).

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