Determine o raio e o centro das seguintes circunferências:
(a) lx=3 sen(t)+2 y=3 cos (t)-2
(b) r=2 cos (theta), equação dada em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o centro e o raio de duas circunferências dadas de formas diferentes:
(a) em forma paramétrica l(x=3sen(t)+2,;y=3cos(t)-2r)
(b) em coordenadas polares r=2cos(theta)
Vamos converter cada uma para a forma padrão em coordenadas cartesianas e identificar centro e raio.

Passo 2

Para (a) note que
x-2 = 3sen(t), y+2 = 3cos(t)
Elevando ao quadrado e somando, tiramos a dependência de t:
(x-2)^2 + (y+2)^2 = l(3sen(t)r)^2 + l(3cos(t)r)^2 = 9l(sen^2(t)+cos^2(t)r) =9
Isto é a equação de um círculo com centro em l(2,-2r) e raio 3.

Passo 3

Para (b) partimos de
r = 2cos(theta)
Multiplicando ambos os lados por r:
r^2 = 2rcos(theta)
Em coordenadas cartesianas r^2 = x^2+y^2 e rcos(theta)=x, então
x^2 + y^2 = 2x
Completando o quadrado em x:
x^2 -2x +1 + y^2 = 1 Longrightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1
Esse é um círculo de centro (1,0) e raio 1.

Resposta

(a) Centro (2,-2), raio 3.
(b) Centro (1,0), raio 1.

Exercícios relacionados