Determine se cada afirmaçäo abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado pergunta se
é um subespaço vetorial de
. Para isso precisamos verificar as condições de subespaço:
-
. - Fechamento em soma: se
então . - Fechamento em produto escalar: se
e , então .
Passo 2
Verificamos primeiro que o vetor zero
satisfaz
, logo
.
Passo 3
Para testar fechamento em soma, escolhemos
Temos
e
, então
e
. Mas
e aí
, ou seja
. Logo
não é fechado em soma.
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo:
e
, mas
. Portanto
não é subespaço de
.