Determine se cada afirmaçäo abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
O conjunto U=(x, y, z) in R^3: x y=0 é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

O enunciado pergunta se
U = (x,y,z)inR^3 : x,y = 0
é um subespaço vetorial de R^3. Para isso precisamos verificar as condições de subespaço:
  1. 0in U.
  2. Fechamento em soma: se u,vin U então u+vin U.
  3. Fechamento em produto escalar: se uin U e alphainR, então alpha uin U.

Passo 2

Verificamos primeiro que o vetor zero (0,0,0) satisfaz 0cdot0=0, logo (0,0,0)in U.

Passo 3

Para testar fechamento em soma, escolhemos
u = (1,0,0), v = (0,1,0)
Temos 1cdot0 = 0 e 0cdot1=0, então uin U e vin U. Mas
u+v = (1,1,0),
e aí 1cdot1 = 1 neq 0, ou seja (1,1,0)notin U. Logo U não é fechado em soma.

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo: (1,0,0)in U e (0,1,0)in U, mas (1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)notin U. Portanto U não é subespaço de R^3.

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