Sejam O tildex e O tildey eixos obtidos através de uma rotação, no sentido anti-horário e num ângulo de 45 graus, dos eixos cartesianos O x e Oy respectivamente. Considere a cônica cuja a equação cartesiana é dada em coordenadas ( tildex, tildey) por
tildex^29+tildey^216=1
(a) Escreva a equação cartesiana desta cônica em coordenadas cartesianas ( x, y ) na forma
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
(b) Quais os focos dessa cônica em coordenadas cartesianas (x, y) ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma elipse centrada na origem, cujos eixos principais são os eixos tilde x e tilde y, obtidos a partir dos eixos x,y por uma rotação no sentido anti-horário de theta=45^circ. Em coordenadas (tilde x,tilde y) a equação é
tilde x^29+tilde y^216=1
Precisamos (a) reescrever essa equação na forma geral
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
em (x,y) e (b) encontrar os focos em (x,y). Vamos usar (i) a fórmula de rotação de eixos e (ii) a relação dos focos de uma elipse alinhada com seus eixos principais.

Passo 2

Para usar rotação de eixos em theta=45^circ, as coordenadas se relacionam assim:
tilde x = x + yraiz2, tilde y = -,x + yraiz2
Essa é a fórmula que expressa (tilde x,tilde y) a partir de (x,y) quando giramos os eixos em +45^circ.

Passo 3

Substituindo na elipse
l(tfracx+yraiz2r)^29 +l(tfrac-x+yraiz2r)^216 =1
vem
(x+y)^22cdot9 +(y-x)^22cdot16 =1 ;Longrightarrow; (x+y)^218+(y-x)^232=1
Multiplicando ambos os lados por 288 (o MMC de 18 e 32) obtemos
16,(x+y)^2+9,(y-x)^2=288
Expandindo:
16(x^2+2xy+y^2)+9(y^2-2xy+x^2)=288 ;Longrightarrow; (16+9)x^2+(32-18)xy+(16+9)y^2=288,
ou seja
25x^2+14xy+25y^2-288=0
Portanto, na forma Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 temos
A=25,;B=14,;C=25,;D=0,;E=0,;F=-288

Passo 4

Para achar os focos, retornamos à elipse em (tilde x,tilde y). Lá o semieixo maior é
a=raiz16=4 (sobre tilde y) e o semieixo menor
b=raiz9=3. A distância do centro aos focos é
c=raiza^2-b^2=raiz16-9=raiz7
Em coordenadas (tilde x,tilde y) os focos são
(tilde x,tilde y)=(0,pmraiz7)
Para voltar a (x,y) usamos a rotação inversa (vetor girado em +45^circ):
x = tilde xcos45^circ - tilde ysin45^circ, y = tilde xsin45^circ + tilde ycos45^circ
Como tilde x=0, tilde y=pmraiz7, vem
x = -,(pmraiz7),1raiz2 = mpraiztfrac72, y = (pmraiz7),1raiz2 = pmraiztfrac72
Logo, os focos em (x,y) são
l(-raiz7/2,,raiz7/2r) e
l(raiz7/2,,-raiz7/2r).

Resposta

(a) A forma geral é
25x^2+14xy+25y^2-288=0
(b) Os focos são
l(-raiztfrac72,,raiztfrac72r) e l(raiztfrac72,,-raiztfrac72r)

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