Sejam
e
eixos obtidos através de uma rotação, no sentido anti-horário e num ângulo de 45 graus, dos eixos cartesianos
e Oy respectivamente. Considere a cônica cuja a equação cartesiana é dada em coordenadas (
por
(a) Escreva a equação cartesiana desta cônica em coordenadas cartesianas (
) na forma
(b) Quais os focos dessa cônica em coordenadas cartesianas
?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma elipse centrada na origem, cujos eixos principais são os eixos
e
, obtidos a partir dos eixos
por uma rotação no sentido anti-horário de
. Em coordenadas
a equação é
Precisamos (a) reescrever essa equação na forma geral
em
e (b) encontrar os focos em
. Vamos usar (i) a fórmula de rotação de eixos e (ii) a relação dos focos de uma elipse alinhada com seus eixos principais.
Passo 2
Para usar rotação de eixos em
, as coordenadas se relacionam assim:
Essa é a fórmula que expressa
a partir de
quando giramos os eixos em
.
Passo 3
Substituindo na elipse
vem
Multiplicando ambos os lados por
(o MMC de
e
) obtemos
Expandindo:
ou seja
Portanto, na forma
temos
Passo 4
Para achar os focos, retornamos à elipse em
. Lá o semieixo maior é
(sobre
) e o semieixo menor
. A distância do centro aos focos é
Em coordenadas
os focos são
Para voltar a
usamos a rotação inversa (vetor girado em
):
Como
,
, vem
Logo, os focos em
são
e
.
Resposta
(a) A forma geral é
(b) Os focos são