Considere uma hipérbole de focos
e
, tal que a distância entre os seus vértices
e
é dada por
. Escreva a equação cartesiana dessa hipérbole na forma
(a) Quais são os coeficientes
e
?
(b) Quais os vértices dessa hipérbole?
(b) Quais os vértices dessa hipérbole?
Passo 1
O enunciado dá uma hipérbole cujos focos são
e
e cujo eixo transverso tem comprimento
. Vamos usar rotação de coordenadas para alinhar o eixo da hipérbole com os eixos coordenados, identificar
,
e
e então voltar à forma
.
Passo 2
O centro da hipérbole é o ponto médio dos focos:
A reta que une os focos é
. Fazemos a rotação de
definindo
Nesse sistema
o centro fica em
e os focos em
.
Passo 3
Em
temos
distância de
a
em
, ou seja
O eixo transverso mede
, logo
. Na hipérbole vale
, então
Passo 4
A equação padrão em
é
Multiplicando por
,
Passo 5
Voltando a
via
,
, substituímos:
Expandindo:
Logo os coeficientes são
Passo 6
Os vértices em
são
. Voltando a
:
Assim
, ou
. Os vértices são
Resposta
(a)
(b) e
.
(b)