Considere uma hipérbole de focos F1=(2,2) e F2=(-2,-2), tal que a distância entre os seus vértices V1 e V2 é dada por d(V1, V2)=2 raiz2. Escreva a equação cartesiana dessa hipérbole na forma
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
(a) Quais são os coeficientes A, B, C, D, E e F ?
(b) Quais os vértices dessa hipérbole?

Passo 1

O enunciado dá uma hipérbole cujos focos são F1=(2,2) e F2=(-2,-2) e cujo eixo transverso tem comprimento 2raiz2. Vamos usar rotação de coordenadas para alinhar o eixo da hipérbole com os eixos coordenados, identificar a, b e c e então voltar à forma A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0.

Passo 2

O centro da hipérbole é o ponto médio dos focos:
l(tfrac2+(-2)2,,tfrac2+(-2)2r) = (0,0)
A reta que une os focos é y=x. Fazemos a rotação de ,45^circ definindo
u = x+yraiz2, v = x-yraiz2
Nesse sistema (u,v) o centro fica em (0,0) e os focos em (pm c,0).

Passo 3

Em (u,v) temos c = distância de (0,0) a (2,2) em u, ou seja
c = 2+2raiz2 = 2raiz2
O eixo transverso mede 2a=2raiz2, logo a=raiz2. Na hipérbole vale c^2-a^2=b^2, então
b^2 = (2raiz2)^2 - (raiz2)^2 = 8 - 2 = 6

Passo 4

A equação padrão em (u,v) é
u^2a^2 - v^2b^2 = 1 Longrightarrow u^22 - v^26 = 1
Multiplicando por 6,
3,u^2 - v^2 = 6

Passo 5

Voltando a (x,y) via u=(x+y)/raiz2, v=(x-y)/raiz2, substituímos:
3l(tfracx+yraiz2r)^2 - l(tfracx-yraiz2r)^2 = 6 ;Longrightarrow; 3(x+y)^2 - (x-y)^2 = 12
Expandindo:
3(x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2) = 12 ;Longrightarrow; 2x^2 +8xy +2y^2 = 12 ;Longrightarrow; x^2 +4xy + y^2 - 6 = 0
Logo os coeficientes são
A=1, B=4, C=1, D=0, E=0, F=-6

Passo 6

Os vértices em (u,v) são (pm a,0)=(pmraiz2,0). Voltando a (x,y):
u=pmraiz2;Rightarrow;x+y=pm2, v=0;Rightarrow;x-y=0;Rightarrow;x=y
Assim 2x=pm2, ou x=y=pm1. Os vértices são
V1=(1,1), V2=(-1,-1)

Resposta

(a) A=1, B=4, C=1, D=0, E=0, F=-6
(b) V1=(1,1) e V2=(-1,-1).

Exercícios relacionados