Considere o elipsoide
.
(a) Determine uma equação para cada plano tangente ao elipsoide e paralelo ao plano
.
(b) Determine o ponto em que a reta normal ao elipsoide no ponto
intercepta o plano
.
(a) Determine uma equação para cada plano tangente ao elipsoide e paralelo ao plano
(b) Determine o ponto em que a reta normal ao elipsoide no ponto
Passo 1
O enunciado pede para (a) achar as equações dos planos tangentes ao elipsoide
que sejam paralelos ao plano
e (b) determinar onde a reta normal ao elipsoide no ponto
intercepta o plano
. Vamos usar gradiente para achar normais e depois condições de paralelismo e intersecção.
Passo 2
Para achar a equação geral do plano tangente a
num ponto
, considere
. O gradiente é
Logo o plano tangente satisfaz
$$
2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+8z_0(z-z_0)=0
x_0x+y_0y+4z_0z=2.$$
Passo 3
Para que esse plano seja paralelo a
, seus vetores normais devem ser proporcionais. O normal ao nosso plano é
e ao dado é
. Logo
imõe
(da terceira componente) e
.
Passo 4
Como
e
, o ponto
deve satisfazer o elipsoide:
Assim os pontos são
e
.
Passo 5
Substituindo esses
em
dá para
e para
$$
-1\cdot x-1\cdot y=2\implies x+y=-2.$$
Passo 6
Agora a parte (b): no ponto
o gradiente é
Passo 7
A reta normal tem equações paramétricas
Para achar onde intercepta o plano
basta pôr
:
Então
Passo 8
Concluímos as respostas pedidas.
Resposta
a) As equações dos planos tangentes são
e
.
b) A reta normal intercepta o plano no ponto
.
b) A reta normal intercepta o plano