Considere o elipsoide x^2+y^2+4 z^2=2.
(a) Determine uma equação para cada plano tangente ao elipsoide e paralelo ao plano x+y=4.
(b) Determine o ponto em que a reta normal ao elipsoide no ponto x y intercepta o plano .

Passo 1

O enunciado pede para (a) achar as equações dos planos tangentes ao elipsoide x^2+y^2+4z^2=2 que sejam paralelos ao plano x+y=4 e (b) determinar onde a reta normal ao elipsoide no ponto (1,0,tfrac12) intercepta o plano xy. Vamos usar gradiente para achar normais e depois condições de paralelismo e intersecção.

Passo 2

Para achar a equação geral do plano tangente a x^2+y^2+4z^2=2 num ponto (x0,y0,z0), considere F(x,y,z)=x^2+y^2+4z^2-2. O gradiente é
nabla F(x0,y0,z0)=(2x0,2y0,8z0)
Logo o plano tangente satisfaz
$$
2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+8z_0(z-z_0)=0
2x0(x-x0)+2y0(y-y0)+8z0(z-z0)=0
x_0x+y_0y+4z_0z=2.$$

Passo 3

Para que esse plano seja paralelo a x+y=4, seus vetores normais devem ser proporcionais. O normal ao nosso plano é (x0,y0,4z0) e ao dado é (1,1,0). Logo
(x0,y0,4z0)=lambda(1,1,0)
imõe 4z0=0 (da terceira componente) e x0=y0.

Passo 4

Como z0=0 e x0=y0=t, o ponto (t,t,0) deve satisfazer o elipsoide:
2t^2=2implies t^2=1implies t=pm1
Assim os pontos são (1,1,0) e (-1,-1,0).

Passo 5

Substituindo esses (x0,y0,z0) em x0x+y0y+4z0z=2 dá para t=1
1cdot x+1cdot y=2implies x+y=2
e para t=-1
$$
-1\cdot x-1\cdot y=2\implies x+y=-2.$$

Passo 6

Agora a parte (b): no ponto (1,0,tfrac12) o gradiente é
nabla F=(2cdot1,2cdot0,8cdottfrac12)=(2,0,4)

Passo 7

A reta normal tem equações paramétricas
x=1+2t, y=0+0,t, z=tfrac12+4t
Para achar onde intercepta o plano xy basta pôr z=0:
tfrac12+4t=0implies t=-tfrac18
Então
x=1+2(-tfrac18)=1-tfrac14=tfrac34, y=0, z=0

Passo 8

Concluímos as respostas pedidas.

Resposta

a) As equações dos planos tangentes são x+y=2 e x+y=-2.
b) A reta normal intercepta o plano xy no ponto l(tfrac34,0,0r).

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