Considere o elipsoide
.
a) Encontre o plano tangente ao elipsoide no ponto
;
b) Encontre a reta normal ao elipsoide no ponto (2,2,1).
a) Encontre o plano tangente ao elipsoide no ponto
b) Encontre a reta normal ao elipsoide no ponto (2,2,1).
Passo 1
O enunciado nos dá o elipsoide
e o ponto sobre o elipsoide
.
As perguntas são:
a) encontrar o plano tangente ao elipsoide no ponto ;
b) encontrar a reta normal ao elipsoide no ponto .
a) encontrar o plano tangente ao elipsoide no ponto
b) encontrar a reta normal ao elipsoide no ponto
Informações relevantes dadas:
- A superfície é descrita pela equação implícita
. - O ponto de interesse é
, que satisfaz a equação (pode-se verificar). - Para achar plano tangente e reta normal vamos precisar do vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 2
Ideia e ferramenta principal (explicada passo a passo).
Quando uma superfície está dada como nível de uma função, isto é,
, o vetor gradiente de
em um ponto da superfície é perpendicular (normal) à superfície nesse ponto.
Vou explicar isso de forma simples e intuitiva:
- Defina
. A superfície é o nível . - Se
é uma curva qualquer que fica sobre a superfície e passa pelo ponto considerado, então para todo vale (constante). - Derivando em
e usando a regra da cadeia obtemos . Isso diz que o gradiente é ortogonal a qualquer vetor tangente da superfície naquele ponto. - Conclusão:
é um vetor normal à superfície.
Agora, o que é o gradiente? Para uma função
,
Cada componente é a derivada parcial em relação à variável correspondente. Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de
e, no caso de um nível constante, é perpendicular ao nível.
Passo 3
Calcular o gradiente de
e avaliá‑lo no ponto dado.
Definimos
As derivadas parciais são:
Logo o gradiente é
Avaliando em
:
Este vetor
é perpendicular à superfície no ponto dado; é o vetor normal que usaremos.
Passo 4
Construir o plano tangente usando a forma ponto‑normal.
Forma ponto‑normal do plano: se
é um vetor normal e
é o ponto, então a equação do plano é
Aqui
e
. Substituindo:
Agora desenvolvendo e simplificando passo a passo:
Dividindo tudo por
(para ficar mais simples):
Essa é a equação do plano tangente em forma simples.
Passo 5
Construir a reta normal passando pelo ponto usando o vetor normal.
Uma reta que passa por
e tem direção dada pelo vetor
tem forma paramétrica
onde
é o parâmetro.
Aqui queremos a reta normal, então escolhemos
e o ponto
. A forma paramétrica é
Opcional: é comum simplificar a direção dividindo por um fator escalar. Dividindo por
obtemos a direção
e uma parametrização alternativa é
que representa a mesma reta (apenas reparametrada).
Também se pode escrever a forma simétrica: