Considere o elipsoide x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=12.
a) Encontre o plano tangente ao elipsoide no ponto (2,2,1);
b) Encontre a reta normal ao elipsoide no ponto (2,2,1).

Passo 1

O enunciado nos dá o elipsoide
x^{2}+y^{2}+4z^{2}=12
e o ponto sobre o elipsoide (2,2,1).
As perguntas são:
a) encontrar o plano tangente ao elipsoide no ponto (2,2,1);
b) encontrar a reta normal ao elipsoide no ponto (2,2,1).
Informações relevantes dadas:
  • A superfície é descrita pela equação implícita \;x^{2}+y^{2}+4z^{2}=12\;.
  • O ponto de interesse é (2,2,1), que satisfaz a equação (pode-se verificar).
  • Para achar plano tangente e reta normal vamos precisar do vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 2

Ideia e ferramenta principal (explicada passo a passo).
Quando uma superfície está dada como nível de uma função, isto é, \;F(x,y,z)=\text{constante}\;, o vetor gradiente de F em um ponto da superfície é perpendicular (normal) à superfície nesse ponto.
Vou explicar isso de forma simples e intuitiva:
  • Defina F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+4z^{2}. A superfície é o nível \;F(x,y,z)=12.
  • Se r(t) é uma curva qualquer que fica sobre a superfície e passa pelo ponto considerado, então para todo t vale F(r(t))=12 (constante).
  • Derivando em t e usando a regra da cadeia obtemos \nabla F(r(t))\cdot r'(t)=0. Isso diz que o gradiente é ortogonal a qualquer vetor tangente r'(t) da superfície naquele ponto.
  • Conclusão: \nabla F é um vetor normal à superfície.
Agora, o que é o gradiente? Para uma função F(x,y,z),
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Cada componente é a derivada parcial em relação à variável correspondente. Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de F e, no caso de um nível constante, é perpendicular ao nível.

Passo 3

Calcular o gradiente de F e avaliá‑lo no ponto dado.
Definimos
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+4z^{2}.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=8z.
Logo o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=(2x,\,2y,\,8z).
Avaliando em (2,2,1):
\nabla F(2,2,1)=(2\cdot2,\,2\cdot2,\,8\cdot1)=(4,\,4,\,8).
Este vetor (4,4,8) é perpendicular à superfície no ponto dado; é o vetor normal que usaremos.

Passo 4

Construir o plano tangente usando a forma ponto‑normal.
Forma ponto‑normal do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal e (x_{0},y_{0},z_{0}) é o ponto, então a equação do plano é
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Aqui \mathbf{n}=\nabla F(2,2,1)=(4,4,8) e (x_{0},y_{0},z_{0})=(2,2,1). Substituindo:
4(x-2)+4(y-2)+8(z-1)=0.
Agora desenvolvendo e simplificando passo a passo:
4x-8+4y-8+8z-8=0
4x+4y+8z-24=0.
Dividindo tudo por 4 (para ficar mais simples):
x+y+2z-6=0.
Essa é a equação do plano tangente em forma simples.

Passo 5

Construir a reta normal passando pelo ponto usando o vetor normal.
Uma reta que passa por (x_{0},y_{0},z_{0}) e tem direção dada pelo vetor \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) tem forma paramétrica
(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t(v_{1},v_{2},v_{3}),
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro.
Aqui queremos a reta normal, então escolhemos \mathbf{v}=\nabla F(2,2,1)=(4,4,8) e o ponto (2,2,1). A forma paramétrica é
x=2+4t,\qquad y=2+4t,\qquad z=1+8t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Opcional: é comum simplificar a direção dividindo por um fator escalar. Dividindo por 4 obtemos a direção (1,1,2) e uma parametrização alternativa é
x=2+s,\qquad y=2+s,\qquad z=1+2s,\qquad s\in\mathbb{R},
que representa a mesma reta (apenas reparametrada).
Também se pode escrever a forma simétrica:
\frac{x-2}{4}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-1}{8}.

Resposta

x+y+2z-6=0
x=2+4t,\\ y=2+4t,\\ z=1+8t,\\ t\in\mathbb{R}

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