Encontre todos os pontos da superfície nos quais o plano tangente é horizontal.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies definidas por funções
e pede: “encontre todos os pontos da superfície nos quais o plano tangente é horizontal”. As superfícies são:
- (a)
. - (b)
.
As perguntas que preciso responder:
- Para (a): determinar todos os pontos
da superfície onde o plano tangente é horizontal. - Para (b): determinar todos os pontos
da superfície onde o plano tangente é horizontal.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As duas superfícies estão escritas no formato
. - Não há outras restrições sobre
e ; ambos variam em todo .
Passo 2
O que significa “plano tangente horizontal” para uma superfície
? Vou explicar passo a passo, devagar.
- Para uma função
, o plano tangente no ponto tem equação
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
-
Intuição das derivadas parciais:
é a inclinação da superfície na direção em que só varia (mantendo fixo). Similarmente, é a inclinação na direção em que só varia (mantendo fixo). -
Um plano é “horizontal” no sentido usual quando é paralelo a um plano do tipo
constante. Na equação do plano tangente acima isso ocorre quando o termo que multiplica e o termo que multiplica são ambos zero. Ou seja, o plano tangente será horizontal exatamente quando
Portanto, o procedimento geral para cada superfície é:
- Calcular
e . - Resolver o sistema
para encontrar . - Calcular
nesses pontos para obter as coordenadas da superfície.
Passo 3
Aplicando o procedimento ao item (a): [f(x,y)=x{3}y{2}).
- Calcular a derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar .
Explicação:
é constante quando derivamos em relação a
, e a derivada de
é
.
- Calcular a derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar .
Explicação:
é constante ao derivar em
, e a derivada de
é
.
- Resolver o sistema
:
Fatorando, ambos possuem fatores em comum. Das equações segue que cada uma é zero se
. Vamos analisar as possibilidades:
- Se
então e são satisfeitas para qualquer . - Se
então e são satisfeitas para qualquer .
Não existe outro caso (por exemplo, não há necessidade de ter
e
porque aí as derivadas seriam positivas e não nulas). Portanto as soluções no plano
são todos os pontos com
ou
.
- Calcular
nesses pontos: como ,
Logo todos os pontos em que o plano tangente é horizontal têm
. Em coordenadas tridimensionais a solução é a união das duas retas (eixos) contidas no plano
:
Passo 4
(Pequena verificação e intuição adicional para (a).) É razoável: a superfície
é zero sempre que
ou
, formando uma cruz no plano
; nessas linhas a superfície é “plana” localmente na direção vertical, portanto o plano tangente fica horizontal. Isso confirma a solução encontrada.
Passo 5
Agora o item (b): [f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}-2 x+4 y).
- Calcular
: derivando termo a termo em relação a (tratando como constante),
Detalhe: a derivada de
é
; de
em relação a
é
;
é constante (derivada zero); de
é
;
é constante.
- Calcular
: derivando em relação a ,
Detalhe: derivada de
em relação a
é
; de
é
; de
é
; os termos que não dependem de
têm derivada zero.
- Resolver o sistema
:
Vou resolver por substituição. Da primeira equação isolamos
, de onde
Substituindo
em
obtemos
- Calcular
:
Portanto há um único ponto da superfície onde o plano tangente é horizontal:
.]
Passo 6
Resumo das soluções e interpretação final:
- (a) Há infinitos pontos: todos os pontos da superfície com
ou ; em coordenadas isso é para todo e para todo . - (b) Há exatamente um ponto:
.
Resposta
(a)
(b)