Encontre todos os pontos da superfície nos quais o plano tangente é horizontal.
a) z=x^{3} y^{2}
b) z=x^{2}-x y+y^{2}-2 x+4 y

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies definidas por funções z=f(x,y) e pede: “encontre todos os pontos da superfície nos quais o plano tangente é horizontal”. As superfícies são:
  • (a) z=x^{3}y^{2}.
  • (b) z=x^{2}-x y+y^{2}-2 x+4 y.
As perguntas que preciso responder:
  • Para (a): determinar todos os pontos (x,y,z) da superfície z=x^{3}y^{2} onde o plano tangente é horizontal.
  • Para (b): determinar todos os pontos (x,y,z) da superfície z=x^{2}-x y+y^{2}-2 x+4 y onde o plano tangente é horizontal.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As duas superfícies estão escritas no formato z=f(x,y).
  • Não há outras restrições sobre x e y; ambos variam em todo \mathbb{R}.

Passo 2

O que significa “plano tangente horizontal” para uma superfície z=f(x,y)? Vou explicar passo a passo, devagar.
  • Para uma função f(x,y), o plano tangente no ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) tem equação
z - f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.
  • Intuição das derivadas parciais: f_x(x_0,y_0) é a inclinação da superfície na direção em que só x varia (mantendo y fixo). Similarmente, f_y(x_0,y_0) é a inclinação na direção em que só y varia (mantendo x fixo).
  • Um plano é “horizontal” no sentido usual quando é paralelo a um plano do tipo z= constante. Na equação do plano tangente acima isso ocorre quando o termo que multiplica (x-x_0) e o termo que multiplica (y-y_0) são ambos zero. Ou seja, o plano tangente será horizontal exatamente quando
f_x(x_0,y_0)=0\qquad\text{e}\qquad f_y(x_0,y_0)=0.
Portanto, o procedimento geral para cada superfície é:
  1. Calcular f_x e f_y.
  2. Resolver o sistema f_x(x,y)=0,\;f_y(x,y)=0 para encontrar (x,y).
  3. Calcular z=f(x,y) nesses pontos para obter as coordenadas (x,y,z) da superfície.

Passo 3

Aplicando o procedimento ao item (a): [f(x,y)=x{3}y{2}).
  • Calcular a derivada parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar x^{3}.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{2}\big)=3x^{2}y^{2}.
Explicação: y^{2} é constante quando derivamos em relação a x, e a derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Calcular a derivada parcial em relação a y: tratar x como constante e derivar y^{2}.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{2}\big)=x^{3}\cdot 2y=2x^{3}y.
Explicação: x^{3} é constante ao derivar em y, e a derivada de y^{2} é 2y.
  • Resolver o sistema f_x=0,\;f_y=0:
\begin{cases} 3x^{2}y^{2}=0,\\[4pt] 2x^{3}y=0. \end{cases}
Fatorando, ambos possuem fatores em comum. Das equações segue que cada uma é zero se x=0\] ou \(y=0. Vamos analisar as possibilidades:
  1. Se x=0 então 3x^{2}y^{2}=0 e 2x^{3}y=0 são satisfeitas para qualquer y.
  2. Se y=0 então 3x^{2}y^{2}=0 e 2x^{3}y=0 são satisfeitas para qualquer x.
Não existe outro caso (por exemplo, não há necessidade de ter x\neq0 e y\neq0 porque aí as derivadas seriam positivas e não nulas). Portanto as soluções no plano (x,y) são todos os pontos com x=0 ou y=0.
  • Calcular z nesses pontos: como z=x^{3}y^{2},
\text{se }x=0\Rightarrow z=0;\qquad \text{se }y=0\Rightarrow z=0.
Logo todos os pontos em que o plano tangente é horizontal têm z=0. Em coordenadas tridimensionais a solução é a união das duas retas (eixos) contidas no plano z=0:
\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\\ \cup\\ \{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}.]

Passo 4

(Pequena verificação e intuição adicional para (a).) É razoável: a superfície z=x^{3}y^{2} é zero sempre que x=0 ou y=0, formando uma cruz no plano z=0; nessas linhas a superfície é “plana” localmente na direção vertical, portanto o plano tangente fica horizontal. Isso confirma a solução encontrada.

Passo 5

Agora o item (b): [f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}-2 x+4 y).
  • Calcular f_x(x,y): derivando termo a termo em relação a x (tratando y como constante),
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}-x y+y^{2}-2 x+4 y\big)=2x - y -2.
Detalhe: a derivada de x^2 é 2x; de -x y em relação a x é -y; y^{2} é constante (derivada zero); de -2x é -2; 4y é constante.
  • Calcular f_y(x,y): derivando em relação a y,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-x y+y^{2}-2 x+4 y\big)=-x + 2y +4.
Detalhe: derivada de -x y em relação a y é -x; de y^{2} é 2y; de 4y é 4; os termos que não dependem de y têm derivada zero.
  • Resolver o sistema f_x=0,\;f_y=0:
\begin{cases} 2x - y -2=0,\\[4pt] - x + 2y +4=0. \end{cases}
Vou resolver por substituição. Da primeira equação isolamos y\]: \[y=2x-2.\] Substituindo na segunda equação: \[- x + 2(2x-2) +4 = 0.\] Calcular passo a passo o lado esquerdo: \[- x + 4x -4 +4 = 3x + 0 = 3x.\] Então \(3x=0, de onde
x=0.
Substituindo x=0 em y=2x-2 obtemos
y=2\cdot 0 -2 = -2.
  • Calcular z=f(0,-2):
\begin{aligned} z &= (0)^{2} - (0)(-2) + (-2)^{2} -2\cdot 0 + 4(-2)\\[4pt] &= 0 + 0 + 4 + 0 -8 = -4. \end{aligned}
Portanto há um único ponto da superfície onde o plano tangente é horizontal: (0,-2,-4).]

Passo 6

Resumo das soluções e interpretação final:
  • (a) Há infinitos pontos: todos os pontos da superfície com x=0 ou y=0; em coordenadas (x,y,z) isso é (x,0,0) para todo x\in\mathbb{R} e (0,y,0) para todo y\in\mathbb{R}.
  • (b) Há exatamente um ponto: (0,-2,-4).

Resposta

(a) \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\\ \cup\\ \{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}
(b) (0,-2,-4)

Exercícios relacionados