Considere uma empresa que opera em um mercado de livre concorrência e fabrica um produto com custos totais representados pela equação CT(q)=100+10 q+2 q^2, onde q é a quantidade de produtos fabricados. A receita total da empresa é dada pela equação RT(x)=200+100 q-q^2. Sabendo que a demanda é descrita pela função p=2 q-10, onde p é o preço do produto, qual seria o preço de venda que maximizaria o lucro dessa empresa?
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Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo total
CT(q)=100+10q+2q^2
a receita total
RT(q)=200+100q-q^2
e a função-demanda invertida
p=2q-10
Queremos achar o preço p que maximize o lucro pi(q)=RT(q)-CT(q). Para isso, vamos usar a condição de primeira ordem de maximização de lucro, que diz que a receita marginal deve igualar o custo marginal.

Passo 2

Calculamos o custo marginal MC como a derivada de CT(q):
MC = CT'(q) = ddql(100+10q+2q^2r) = 10 + 4q

Passo 3

Calculamos a receita marginal MR como a derivada de RT(q):
MR = RT'(q) = ddql(200+100q-q^2r) = 100 - 2q

Passo 4

Igualamos MR e MC para achar a quantidade ótima q^*:
100 - 2q = 10 + 4q Longrightarrow 100 - 10 = 4q + 2q Longrightarrow 90 = 6q Longrightarrow q^* = 15
Em seguida, usamos a demanda para obter o preço ótimo:
p^* = 2q^* - 10 = 2cdot15 - 10 = 30 - 10 = 20

Resposta

20

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