Encontre a solução geral dos sistemas dados:
x^prime=[cc1 & -2 2 & 5] x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
x' = A,x, A = 1 & -22 & 5
Para resolver precisamos de autovalores, autovetores e, como veremos, um autovalor duplo sem base completa de autovetores, então também um vetor generalizado.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det1-lambda & -22 & 5-lambda = (1-lambda)(5-lambda) - (-2)cdot2 = lambda^2 -6lambda +9 = (lambda-3)^2
Logo o único autovalor é lambda=3, com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para resolvemos :
Um autovetor não nulo é
Note que a multiplicidade geométrica é 1, menor que 2, portanto é defectivo.

Passo 4

Buscamos um vetor generalizado tal que
Chamando , temos
Uma escolha conveniente é
pois então .

Passo 5

Como lambda=3 é duplo e temos v,u com (A-3I)v=0, (A-3I)u=v, a forma geral da solução é
x(t) = C1,e^3t,v + C2,e^3tl(t,v + ur),
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxed x(t) = C1,e^3t 1-1 + C2,e^3t!(t 1-1 +-tfrac120)

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