Considere as equações diferenciais lineares:
y^prime(x)+p(x) y=0 ; y^prime(x)+p(x) y=q(x)
Suponha que y1(x) é solução da equação homogênea e que yp(x) é uma solução da equação não homogênea. Mostre então que qualquer outra solução da equação não homogênea é da forma c y1(x)+yp(x), para algum valor de c in R.

Passo 1

O enunciado trata de duas equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y'(x) + p(x),y(x) = 0
(homogênea) e
y'(x) + p(x),y(x) = q(x)
(não homogênea). Sabemos que y1(x) é uma solução da homogênea e que yp(x) é uma solução particular da não homogênea. O objetivo é mostrar que qualquer outra solução da não homogênea difere de yp apenas por uma constante vezes y1.

Passo 2

Seja ,y(x) uma solução arbitrária de
y'(x) + p(x),y(x) = q(x)
Definimos a função
z(x) = y(x) - yp(x)
Vamos verificar que ,z satisfaz a equação homogênea. De fato,
z'(x) = y'(x) - yp'(x),
logo
z'(x) + p(x),z(x) = l[y'(x) + p(x),y(x)r] - l[yp'(x) + p(x),yp(x)r]
Como y e yp satisfazem ambas a equação não homogênea, temos
y'(x) + p(x),y(x) = q(x) e yp'(x) + p(x),yp(x) = q(x)
Portanto
z'(x) + p(x),z(x) = q(x) - q(x) = 0,
ou seja, z é solução da equação homogênea.

Passo 3

A teoria de equações lineares de primeira ordem diz que o espaço de soluções da homogênea é de dimensão 1 e, portanto, qualquer solução z(x) da homogênea é da forma
z(x) = c,y1(x)
para algum cinR. Como z(x)=y(x)-yp(x), concluímos
y(x) = z(x) + yp(x) = c,y1(x) + yp(x)

Resposta

Qualquer solução da equação não homogênea é dada por
y(x) = c,y1(x) + yp(x),
com cinR.

Exercícios relacionados