Considere as equações diferenciais lineares:
Suponha que
é solução da equação homogênea e que
é uma solução da equação não homogênea. Mostre então que qualquer outra solução da equação não homogênea é da forma
, para algum valor de
.
Passo 1
O enunciado trata de duas equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(homogênea) e
(não homogênea). Sabemos que
é uma solução da homogênea e que
é uma solução particular da não homogênea. O objetivo é mostrar que qualquer outra solução da não homogênea difere de
apenas por uma constante vezes
.
Passo 2
Seja
uma solução arbitrária de
Definimos a função
Vamos verificar que
satisfaz a equação homogênea. De fato,
logo
Como
e
satisfazem ambas a equação não homogênea, temos
Portanto
ou seja,
é solução da equação homogênea.
Passo 3
A teoria de equações lineares de primeira ordem diz que o espaço de soluções da homogênea é de dimensão
e, portanto, qualquer solução
da homogênea é da forma
para algum
. Como
, concluímos
Resposta
Qualquer solução da equação não homogênea é dada por
com
.