Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
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Passo 1

Neste exercício temos a equação
2xy - sin x + (x^2 + e^y)dydx = 0
que é uma equação diferencial de primeira ordem. O conteúdo aqui é equações exatas: vamos mostrar que ela satisfaz a condição de exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial Phi(x,y) cuja família de curvas Phi(x,y)=C dá a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo no formato padrão M(x,y)+N(x,y),dy/dx=0, identificamos
M(x,y)=2xy-sin x,
N(x,y)=x^2+e^y

Passo 3

Agora verificamos se a equação é exata, calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2x,
partial Npartial x=2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para achar Phi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y)=integral(2xy-sin x),dx=x^2y+cos x+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 5

Em seguida, derivamos Phi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partialPhipartial y=x^2+h'(y)=x^2+e^y,
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h'(y)=e^yimplies h(y)=e^y + C1

Passo 6

Descartando a constante C1 dentro da família geral, a solução implícita fica
Phi(x,y)=x^2y+cos x+e^y=C,
que é a solução geral da equação dada.

Resposta

x^2y+cos x+e^y=C

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