Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
.
Passo 1
Neste exercício temos a equação
que é uma equação diferencial de primeira ordem. O conteúdo aqui é equações exatas: vamos mostrar que ela satisfaz a condição de exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial
cuja família de curvas
dá a solução geral.
Passo 2
Reescrevendo no formato padrão
, identificamos
Passo 3
Agora verificamos se a equação é exata, calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Para achar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
logo
Passo 6
Descartando a constante
dentro da família geral, a solução implícita fica
que é a solução geral da equação dada.