(a) Considere a equação do tipo linear: y^prime(x)+p(x) y=0. Mostre que se y1(x) e y2(x) são duas soluções da e.d.o. anterior, então toda combinação linear destas soluções é também solução, isto é forall c1, c2 in R, c1 y1(x)+c2 y2(x) é solução da mesma equação.
(b) O resultado anterior ainda é válido se trocarmos a equação linear homogênea pela não homogênea: y^prime(x)+p(x) y=g(x) ?. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na equação linear homogênea de primeira ordem y'(x)+p(x)y=0, qualquer combinação linear de duas soluções também é solução (princípio da superposição). Além disso, precisamos verificar se essa propriedade se mantém quando trocamos para a versão não homogênea y'(x)+p(x)y=g(x). Vamos usar a linearidade do operador diferencial para fazer isso.

Passo 2

Sejam y1(x) e y2(x) soluções da equação homogênea, ou seja,
y1'(x)+p(x)y1(x)=0,
y2'(x)+p(x)y2(x)=0
Definimos então a combinação linear y(x)=c1y1(x)+c2y2(x), com c1,c2in R.

Passo 3

Vamos derivar y(x) e substituir na equação:
y'(x)+p(x)y(x)= (c1y1(x)+c2y2(x))' + p(x)(c1y1(x)+c2y2(x)) = c1(y1'(x)+p(x)y1(x))+c2(y2'(x)+p(x)y2(x))
Como cada termo entre parênteses vale zero (pois y1 e y2 são soluções), obtemos y'(x)+p(x)y(x)=0.

Passo 4

Concluímos que qualquer y(x)=c1y1(x)+c2y2(x) satisfaz a equação homogênea, provando o princípio da superposição.

Passo 5

Agora, para a equação não homogênea, suponha que y1 e y2 satisfaçam
y1'(x)+p(x)y1(x)=g(x),
y2'(x)+p(x)y2(x)=g(x)
Repetindo o mesmo cálculo:
y'(x)+p(x)y(x)=c1g(x)+c2g(x)=(c1+c2)g(x)

Passo 6

Isso só coincide com g(x) se c1+c2=1. Logo, em geral a combinação linear de duas soluções não homogêneas não é solução (a menos dessa condição especial).

Resposta

(a) A superposição vale para a equação homogênea porque o operador L[y]=y'+p(x)y é linear e homogêneo, logo L(c1y1+c2y2)=c1L[y1]+c2L[y2]=0. (b) Para a equação não homogênea a superposição geral falha, pois L(c1y1+c2y2)=(c1+c2)g(x)neq g(x) para c1+c2neq1.

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