(a) Considere a equação do tipo linear:
. Mostre que se
e
são duas soluções da e.d.o. anterior, então toda combinação linear destas soluções é também solução, isto é
é solução da mesma equação.
(b) O resultado anterior ainda é válido se trocarmos a equação linear homogênea pela não homogênea:
?. Justifique.
(b) O resultado anterior ainda é válido se trocarmos a equação linear homogênea pela não homogênea:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na equação linear homogênea de primeira ordem
, qualquer combinação linear de duas soluções também é solução (princípio da superposição). Além disso, precisamos verificar se essa propriedade se mantém quando trocamos para a versão não homogênea
. Vamos usar a linearidade do operador diferencial para fazer isso.
Passo 2
Sejam
e
soluções da equação homogênea, ou seja,
Definimos então a combinação linear
Passo 3
Vamos derivar
e substituir na equação:
Como cada termo entre parênteses vale zero (pois
e
são soluções), obtemos
.
Passo 4
Concluímos que qualquer
satisfaz a equação homogênea, provando o princípio da superposição.
Passo 5
Agora, para a equação não homogênea, suponha que
e
satisfaçam
Repetindo o mesmo cálculo:
Passo 6
Isso só coincide com
se
. Logo, em geral a combinação linear de duas soluções não homogêneas não é solução (a menos dessa condição especial).
Resposta
(a) A superposição vale para a equação homogênea porque o operador
é linear e homogêneo, logo
. (b) Para a equação não homogênea a superposição geral falha, pois
para
.