Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=1+z1-z, z0=i

Passo 1

Temos a função f(z)=1+z1-z e queremos expandi-la em série de Taylor em torno de z0=i. O conteúdo aqui é série de Taylor em análise complexa, e vamos precisar transformar f em potências de w=z-i e usar a série geométrica 1/(1-u)=sumn=0^inftyu^n válida para |u|<1.

Passo 2

Definimos a mudança de variável w=z-i, de modo que z=i+w. Substituindo em f obtemos:
$$
f(i+w)=\frac{1+(i+w)}{1-(i+w)}=\frac{(1+i)+w}{(1-i)-w}$$

Passo 3

Para usar a série geométrica, dividimos numerador e denominador por 1-i. Chamemos A=1+i e B=1-i. Assim:
$$
f(i+w)=\frac{A+w}{B-w}=\frac{A/B + w/B}{1 - w/B}$$

Passo 4

Calculamos A/B e 1/B:
AB=1+i1-i=i, 1B=11-i=1+i2=alpha

Passo 5

Então
f(i+w)=i + alpha,w1-alpha,w=icdot11-alpha w+alpha w1-alpha w

Passo 6

Agora usamos a série geométrica para cada termo, com u=alpha w:
11-alpha w=sumn=0^infty(alpha w)^n, alpha w1-alpha w=sumn=1^infty(alpha w)^n

Passo 7

Logo
f(i+w)=isumn=0^infty(alpha w)^n+sumn=1^infty(alpha w)^n =i+sumn=1^inftyl(i+1r)(alpha w)^n

Passo 8

Lembrando que i+1=1+i e alpha=(1+i)/2, temos os coeficientes
a0=i, an=(1+i)l(1+i2r)^n(n>=1)

Passo 9

A série fica então
f(z)=i+sumn=1^infty(1+i)l(1+i2r)^n(z-i)^n

Passo 10

O raio de convergência vem da condição |alpha w|<1, ou seja |w|<1/|alpha|=|1-i|=raiz2.

Resposta

A expansão centrada em z0=i é
f(z)=i+sumn=1^infty(1+i)l(1+i2r)^n(z-i)^n
e o raio de convergência é R=raiz2.

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