Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
Temos a função
e queremos expandi-la em série de Taylor em torno de
. O conteúdo aqui é série de Taylor em análise complexa, e vamos precisar transformar
em potências de
e usar a série geométrica
válida para
.
Passo 2
Definimos a mudança de variável
, de modo que
. Substituindo em
obtemos:
$$
f(i+w)=\frac{1+(i+w)}{1-(i+w)}=\frac{(1+i)+w}{(1-i)-w}$$
Passo 3
Para usar a série geométrica, dividimos numerador e denominador por
. Chamemos
e
. Assim:
$$
f(i+w)=\frac{A+w}{B-w}=\frac{A/B + w/B}{1 - w/B}$$
Passo 4
Calculamos
e
:
Passo 5
Então
Passo 6
Agora usamos a série geométrica para cada termo, com
:
Passo 7
Logo
Passo 8
Lembrando que
e
, temos os coeficientes
Passo 9
A série fica então
Passo 10
O raio de convergência vem da condição
, ou seja
.
Resposta
A expansão centrada em
é
e o raio de convergência é
.