Sejam
e
subconjuntos limitados de
, e defina
. Mostre que:
.
Passo 1
Estamos lidando com subconjuntos limitados A e B de ℝ e definimos A+B = {a+b ∣ a∈A, b∈B}. O conteúdo é supremo de soma de conjuntos, e vamos usar a definição de supremo (menor cota superior) e o argumento com ε>0 para aproximar esse supremo.
Passo 2
Para mostrar que
, considere qualquer
. Então existem
e
tais que
. Como
e
, vale
[
a + b \le \sup A + \sup B
]
Logo, todo satisfaz
, ou seja,
é uma cota superior de
.
[
a + b \le \sup A + \sup B
]
Logo, todo
Passo 3
Para ver que
não é menor que
, tome
. Pela definição de supremo, existem
e
tais que
[
a_\varepsilon > \sup A - \varepsilon/2,\quad b_\varepsilon > \sup B - \varepsilon/2
]
Somando as duas desigualdades obtemos
[
a_\varepsilon + b_\varepsilon > (\sup A + \sup B) - \varepsilon
]
Isso mostra que para todo existe um elemento de
maior que
, logo
.
[
a_\varepsilon > \sup A - \varepsilon/2,\quad b_\varepsilon > \sup B - \varepsilon/2
]
Somando as duas desigualdades obtemos
[
a_\varepsilon + b_\varepsilon > (\sup A + \sup B) - \varepsilon
]
Isso mostra que para todo
Passo 4
Como
é ao mesmo tempo ≤ e ≥
, concluímos que são iguais.