Sejam A e B subconjuntos limitados de R, e defina A+B=a+b mid a in A, b in B. Mostre que:
sup (A+B)=sup A+sup B.

Passo 1

Estamos lidando com subconjuntos limitados A e B de ℝ e definimos A+B = {a+b ∣ a∈A, b∈B}. O conteúdo é supremo de soma de conjuntos, e vamos usar a definição de supremo (menor cota superior) e o argumento com ε>0 para aproximar esse supremo.

Passo 2

Para mostrar que sup(A+B) <= sup A + sup B, considere qualquer x in A+B. Então existem a in A e b in B tais que x = a + b. Como a <= sup A e b <= sup B, vale
[
a + b \le \sup A + \sup B
]
Logo, todo xin A+B satisfaz x<=sup A+sup B, ou seja, sup A+sup B é uma cota superior de A+B.

Passo 3

Para ver que sup(A+B) não é menor que sup A+sup B, tome varepsilon>0. Pela definição de supremo, existem avarepsilonin A e bvarepsilonin B tais que
[
a_\varepsilon > \sup A - \varepsilon/2,\quad b_\varepsilon > \sup B - \varepsilon/2
]
Somando as duas desigualdades obtemos
[
a_\varepsilon + b_\varepsilon > (\sup A + \sup B) - \varepsilon
]
Isso mostra que para todo varepsilon>0 existe um elemento de A+B maior que sup A+sup B-varepsilon, logo sup(A+B) >= sup A+sup B.

Passo 4

Como sup(A+B) é ao mesmo tempo ≤ e ≥ sup A+sup B, concluímos que são iguais.

Resposta

sup(A+B)=sup A+sup B.

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