Considere a equação x^2-y^2=14.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da equação acima no ponto tal que x=-12;

Passo 1

O enunciado dá a equação da hipérbole e pede a reta tangente no ponto onde x = -\tfrac{1}{2}. Vamos usar derivação implícita para achar a inclinação da reta e então escrever sua equação.

Passo 2

Substituindo x = -\tfrac{1}{2} na equação x^2 - y^2 = tfrac14 obtemos
l(-tfrac12r)^2 - y^2 = tfrac14
que leva a
tfrac14 - y^2 = tfrac14 y^2 = 0
Logo o ponto é (-tfrac12,0).

Passo 3

Derivando implicitamente x^2 - y^2 = tfrac14 em relação a x, temos
2x - 2y,y' = 0
Isso dá a relação
y' = xy

Passo 4

Para o ponto (-tfrac12,0), a expressão y' = x/y fica -tfrac12/0, ou seja, a inclinação é indefinida. Isso indica que a reta tangente é vertical.

Passo 5

A reta vertical que passa por x = -tfrac12 é simplesmente
x = -tfrac12

Resposta

x = -\tfrac{1}{2}

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