Considere a equação x^2-y^2=14.
Determine a equação da reta normal ao gráfico da equação acima no ponto tal que x=32 e y<0;

Passo 1

O enunciado dá a curva de equação implícita
x^2-y^2=tfrac14,
que é uma hipérbole, e pede a reta normal ao gráfico nesse ponto em que x=tfrac32 e y<0. Para isso, precisamos:
  1. Encontrar a coordenada y correspondente a x=tfrac32 com y<0.
  2. Derivar implicitamente para achar o coeficiente angular y' da reta tangente.
  3. Obter o coeficiente angular da reta normal como o negativo do recíproco de y'.
  4. Escrever a equação da reta normal em forma de ponto-inclinação.

Passo 2

Substituindo x=tfrac32 em
x^2-y^2=tfrac14
temos
l(tfrac32r)^2-y^2=tfrac14 Longrightarrow tfrac94-y^2=tfrac14 Longrightarrow y^2=tfrac94-tfrac14=tfrac84=2
Como queremos y<0, escolhemos
y=-raiz2

Passo 3

Derivando implicitamente x^2-y^2=tfrac14 em relação a x,
2x - 2y,dydx=0
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dydx=y'=xy
No ponto l(x,yr)=l(tfrac32,-raiz2r),
mtan>=nte =dydx =tfrac32-raiz2 =-32raiz2 =-3raiz24

Passo 4

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do recíproco de mtan>=nte:
mnormal =-1mtan>=nte =-1-tfrac3raiz24 =43raiz2 =4raiz23cdot2 =2raiz23

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação da reta com o ponto l(tfrac32,-raiz2r) e coeficiente mnormal=tfrac2raiz23, temos
y - l(-raiz2r) =2raiz23,l(x-tfrac32r),
isto é,
y+raiz2 =2raiz23,x -2raiz23cdottfrac32 =2raiz23,x -raiz2
Passando raiz2 para o lado direito,
y =2raiz23,x -2raiz2

Resposta

A equação da reta normal é
boxedy = 2raiz23,x - 2raiz2

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