Determine o limite:
lim x longrightarrow infty x^21+cos x ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyx^21+cos x
Aqui estamos estudando um limite em que o numerador cresce sem limite e o denominador é uma função periódica ligada a cos x. Vamos usar o fato de que cos x oscila em [-1,1] para fazer estimativas da fração.

Passo 2

Sabemos que, para todo x,
-1 <= cos x <= 1
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0 <= 1+cos x <= 2
O denominador nunca passa de 2 e pode chegar arbitrariamente próximo de 0 (quando cos xapprox -1).

Passo 3

Como 1+cos x<=2, temos
x^21+cos x;>=;x^22
Mas x^22toinfty quando xtoinfty. Então a nossa função fica sempre acima de algo que cresce sem limite.

Passo 4

Formalmente, dado qualquer M>0, basta escolher X tal que tfracX^22>M. Para todo x>X teremos
x^21+cos x>=x^22>!M,
mostrando que a fração cresce além de qualquer limite pré\mbox{-}fixado.

Resposta

limxtoinftyx^21+cos x=+infty

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