Determine o limite:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Aqui estamos estudando um limite em que o numerador cresce sem limite e o denominador é uma função periódica ligada a
. Vamos usar o fato de que
oscila em
para fazer estimativas da fração.
Passo 2
Sabemos que, para todo
,
logo
O denominador nunca passa de
e pode chegar arbitrariamente próximo de
(quando
).
Passo 3
Como
, temos
Mas
quando
. Então a nossa função fica sempre acima de algo que cresce sem limite.
Passo 4
Formalmente, dado qualquer
, basta escolher
tal que
. Para todo
teremos
mostrando que a fração cresce além de qualquer limite pré\mbox{-}fixado.