Considere a equação
(5 x^2 y + 6 x^3 y^2 + 4 x y^2) dx + (2 x^3 + 3 x^4 y + 3 x^2 y) dy = 0
d) Algumas soluções foram perdidas no processo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
O que a gente precisa verificar aqui é se, ao resolver essa equação, alguma solução foi perdida no caminho. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como elas são resolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se:
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Derivando em relação a y:

Passo 4

Agora, calculando :
Derivando em relação a x:

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Vemos que não são iguais. Ou seja, a equação não é exata. Isso significa que para torná-la exata, talvez precise de um fator integrante.

Passo 6

Mesmo assim, como o foco é saber se alguma solução foi perdida, vamos pensar no processo de resolver a equação. Geralmente, se a equação não é exata e a gente usa um método específico para torná-la exata, pode acontecer de perdermos soluções se o fator integrante não for geral.

Passo 7

Portanto, ao resolver essa equação sem considerar todas as possíveis soluções ou fatores, há a possibilidade de algumas soluções terem sido perdidas no processo.

Resposta

Sim, algumas soluções podem ter sido perdidas durante o processo de resolução da equação diferencial.

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