Considere a equação
d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
O que a gente precisa verificar aqui é se, ao resolver essa equação, alguma solução foi perdida no caminho. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como elas são resolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Vemos que não são iguais. Ou seja, a equação não é exata. Isso significa que para torná-la exata, talvez precise de um fator integrante.
Passo 6
Mesmo assim, como o foco é saber se alguma solução foi perdida, vamos pensar no processo de resolver a equação. Geralmente, se a equação não é exata e a gente usa um método específico para torná-la exata, pode acontecer de perdermos soluções se o fator integrante não for geral.
Passo 7
Portanto, ao resolver essa equação sem considerar todas as possíveis soluções ou fatores, há a possibilidade de algumas soluções terem sido perdidas no processo.
Resposta
Sim, algumas soluções podem ter sido perdidas durante o processo de resolução da equação diferencial.