Determine a diferencial da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a diferencial da função
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com diferenciais de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a diferencial de uma função. Para uma função de três variáveis como
, a diferencial
é uma aproximação linear de como
muda quando
,
e
mudam um pouquinho. A fórmula geral para a diferencial é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Derivada parcial em relação a
: Aqui, tratamose como constantes. Então, -
Derivada parcial em relação a
: Agora, tratamose como constantes. Lembrando que a derivada de é vezes a derivada de , temos: Simplificando: -
Derivada parcial em relação a
: Similar ao caso anterior, tratamose como constantes: Simplificando:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos substituir na fórmula da diferencial:
Resposta
A diferencial da função
é: