Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = x^2 + 4y^2, (2, 1, 8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação de um plano tangente à superfície definida por no ponto específico . A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente derivadas parciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto realmente está na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto está certinho na superfície!

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .
Vamos calcular:

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto :
Esses valores são as inclinações do plano nas direções de e .

Passo 5

A equação geral do plano tangente a no ponto é dada por:

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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