Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_xy = u_yx.
u = x^2 y^3 z^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para a função . O Teorema de Clairaut diz que as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Para isso, tratamos e como constantes:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é :

Passo 5

Agora, derivamos em relação a para encontrar :

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais mistas que encontramos:
Vemos que , o que confirma que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para essa função.

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, , confirmando o Teorema de Clairaut.

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