Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para a função
. O Teorema de Clairaut diz que as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja,
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Para isso, tratamos
e
como constantes:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais mistas que encontramos:
Vemos que
, o que confirma que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para essa função.
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais, ou seja,
, confirmando o Teorema de Clairaut.