Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e as fórmulas de derivação de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
. Começamos derivando
com respeito a
.
A função é
, onde
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Aqui, derivamos
como
, e
.
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos derivar
com respeito a
.
Usando a mesma abordagem:
Aqui,
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a
:
Para derivar isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia novamente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 5
Vamos agora encontrar a derivada mista
.
Começamos com a primeira derivada em relação a
:
Derivando isso com respeito a
:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar a segunda derivada em relação a
:
Usando a regra do produto e da cadeia:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: