Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
z = cos(5x + 2y)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e as fórmulas de derivação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de em relação a e . Começamos derivando com respeito a .
A função é , onde . Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Aqui, derivamos como , e .
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos derivar com respeito a .
Usando a mesma abordagem:
Aqui, .
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a :
Para derivar isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia novamente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 5

Vamos agora encontrar a derivada mista .
Começamos com a primeira derivada em relação a :
Derivando isso com respeito a :
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar a segunda derivada em relação a :
Usando a regra do produto e da cadeia:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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