Considere o problema de valor inicial:
d) valores para
e
de forma que (1) não possua soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver, precisamos analisar quando essa EDO tem soluções dadas condições iniciais específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para isolar
:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Essa forma nos ajuda a identificar a função
na EDO, que é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que nos diz que, se
e sua derivada parcial em relação a
forem contínuas em uma vizinhança do ponto inicial
, então existe uma única solução para o problema de valor inicial.
Então, precisamos verificar a continuidade de
e
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Então,
.
Passo 5
Para que
e
sejam contínuas, precisamos que o denominador
não seja zero, ou seja,
.
Isso significa que o teorema garante a existência e unicidade da solução apenas quando
.
Passo 6
Agora, vamos analisar o ponto inicial
:
-
Se
: Como e são contínuos, pelo teorema, existe uma solução única passando por esse ponto inicial. -
Se
: Aqui, o denominador se torna zero, tornando e não definidos. Isso quebra as condições do teorema.
Passo 7
Portanto, para que o problema de valor inicial não possua soluções, devemos escolher
. O valor de
pode ser qualquer número real, pois mesmo que
, a expressão ainda fica indefinida devido ao
.
Resposta
Os valores
e qualquer
fazem com que o problema de valor inicial não possua soluções.