Considere o problema de valor inicial:
y^2 + 2 x^3 y' = 0, y(x0) = y0
d) valores para x_0 e y0 de forma que (1) não possua soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver, precisamos analisar quando essa EDO tem soluções dadas condições iniciais específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para isolar :
Aqui, representa a derivada de em relação a . Essa forma nos ajuda a identificar a função na EDO, que é:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que nos diz que, se e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em uma vizinhança do ponto inicial , então existe uma única solução para o problema de valor inicial.
Então, precisamos verificar a continuidade de e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Então, .

Passo 5

Para que e sejam contínuas, precisamos que o denominador não seja zero, ou seja, .
Isso significa que o teorema garante a existência e unicidade da solução apenas quando .

Passo 6

Agora, vamos analisar o ponto inicial :
  • Se : Como e são contínuos, pelo teorema, existe uma solução única passando por esse ponto inicial.
  • Se : Aqui, o denominador se torna zero, tornando e não definidos. Isso quebra as condições do teorema.

Passo 7

Portanto, para que o problema de valor inicial não possua soluções, devemos escolher . O valor de pode ser qualquer número real, pois mesmo que , a expressão ainda fica indefinida devido ao .

Resposta

Os valores e qualquer fazem com que o problema de valor inicial não possua soluções.

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