Considere a equação
(5 x^2 y + 6 x^3 y^2 + 4 x y^2) dx + (2 x^3 + 3 x^4 y + 3 x^2 y) dy = 0
c) Use a solução da equação exata resultante para resolver a equação original.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação na forma:
Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde podemos encontrar uma função potencial cuja derivada total nos dá a equação original. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar essa função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Geralmente, uma equação diferencial exata tem a forma:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.

Passo 4

Vamos comparar as derivadas:
Vemos que elas não são iguais:
Então, a equação não é exata. Mas não se preocupa, vamos buscar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 5

Para encontrar um fator integrante, geralmente assumimos que ele depende apenas de ou de . Vamos tentar um fator que depende apenas de , ou seja, .
Multiplicamos toda a equação por :
Agora, queremos que a nova equação seja exata, ou seja:

Passo 6

Calculamos agora as derivadas com o fator :
Para que a equação seja exata, essas duas expressões devem ser iguais.

Passo 7

Comparando as duas derivadas, eliminamos termos e encontramos uma equação para :
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:

Passo 8

Essa equação pode ser complexa para resolver diretamente, então vamos tentar um fator integrante diferente. Vamos assumir que o fator depende de , .
Repetimos o processo:
E queremos:
Calculando as derivadas:

Passo 9

Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 10

Novamente, a equação fica complicada. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa tanto de quanto de . Mas isso pode ser trabalhoso.
Em vez disso, vamos considerar que a equação original já pode ser exata ou que houve algum erro anterior. Para simplificar, assumamos que encontramos um fator integrante .
Multiplicando toda a equação por :
Simplificando:
Agora, verificamos se essa nova equação é exata calculando as derivadas parciais.

Passo 11

Calculamos:
Ainda não são iguais, então o fator não funcionou.
Diante disso, podemos concluir que talvez precisemos de um fator integrante mais complexo ou considerar métodos alternativos, como dividir a equação por um termo comum.

Passo 12

Vamos tentar dividir a equação original por para simplificar:
Simplificando:
Mesmo assim, a equação não fica mais fácil de trabalhar. Portanto, podemos optar por métodos numéricos ou outras técnicas de integração, mas isso foge do escopo atual.

Resposta

Após diversas tentativas de encontrar um fator integrante adequado, a equação original não se torna exata de forma direta. Recomenda-se revisar os cálculos ou considerar métodos alternativos para resolver a equação diferencial apresentada.

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