Determine as derivadas parciais indicadas.
z=x sen y ; partial zpartial y^2 partial x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de uma função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para isso, precisamos lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma variável mostra como muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.

Passo 3

O exercício pede a derivada parcial de segunda ordem . Isso significa que vamos primeiro derivar em relação a e, em seguida, derivar o resultado duas vezes em relação a .

Passo 4

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x (x sen y) em relação a partial zpartial x = sen y :
Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , temos:

Passo 5

Agora, vamos derivar essa expressão duas vezes em relação a partialpartial y ( sen y ) = cos y . Primeiro, a primeira derivada em relação a partialpartial y ( cos y ) = -sen y :
Em seguida, derivamos novamente em relação a :

Resposta

Portanto, a derivada parcial indicada é:

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