Considere o problema de valor inicial:
y^2 + 2 x^3 y' = 0, y(x0) = y0
b) valores para x_0 e y0 de forma que (1) tenha única solução e determine tal solução;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado por:
O objetivo é encontrar valores para e de forma que esse problema tenha uma única solução e, em seguida, determinar essa solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente o teorema de existência e unicidade que nos ajuda a saber quando e como a solução para uma EDO é única.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolarmos , tornando-a uma equação diferencial na forma padrão:
Agora temos a equação na forma:

Passo 3

Para garantir que existe uma única solução para esse problema de valor inicial, precisamos verificar as condições do Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos diz que se a função e sua derivada parcial em relação a são contínuas em um domínio que contém o ponto inicial , então existe uma única solução no entorno desse ponto.
Então, vamos analisar e :
Para que essas funções sejam contínuas, devemos evitar que o denominador seja zero, ou seja, .

Passo 4

Com isso, para garantir a existência e unicidade da solução, escolhemos . Além disso, pode ser qualquer número real, já que não há restrições adicionais para .
Vamos escolher, por simplicidade, e . Assim, garantimos que e podemos aplicar o teorema.

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação diferencial com esses valores iniciais.
Temos:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e .
Vamos reescrever:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar :

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Simplificando:
Invertendo ambos os lados para resolver para :

Resposta

Escolhemos e para garantir que o problema de valor inicial tenha uma única solução. A solução única é:

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