Considere o problema de valor inicial:
b) valores para
e
de forma que (1) tenha única solução e determine tal solução;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado por:
O objetivo é encontrar valores para
e
de forma que esse problema tenha uma única solução e, em seguida, determinar essa solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente o teorema de existência e unicidade que nos ajuda a saber quando e como a solução para uma EDO é única.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolarmos
, tornando-a uma equação diferencial na forma padrão:
Agora temos a equação na forma:
Passo 3
Para garantir que existe uma única solução para esse problema de valor inicial, precisamos verificar as condições do Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos diz que se a função
e sua derivada parcial em relação a
são contínuas em um domínio que contém o ponto inicial
, então existe uma única solução no entorno desse ponto.
Então, vamos analisar
e
:
Para que essas funções sejam contínuas, devemos evitar que o denominador seja zero, ou seja,
.
Passo 4
Com isso, para garantir a existência e unicidade da solução, escolhemos
. Além disso,
pode ser qualquer número real, já que não há restrições adicionais para
.
Vamos escolher, por simplicidade,
e
. Assim, garantimos que
e podemos aplicar o teorema.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação diferencial com esses valores iniciais.
Temos:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
.
Vamos reescrever:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar
:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Simplificando:
Invertendo ambos os lados para resolver para
:
Resposta
Escolhemos
e
para garantir que o problema de valor inicial tenha uma única solução. A solução única é: