Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma superfície definida pela equação
e um ponto específico nessa superfície, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente pertence à superfície
. Substituindo
e
na equação:
Então, o ponto está correto na superfície.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a determinar a inclinação da superfície em pontos específicos.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto
:
Esses valores representam as inclinações nas direções de
e
respectivamente no ponto dado.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente. A equação do plano tangente a uma superfície
no ponto
é dada por:
Passo 6
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que
,
e
. Então:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos distribuir e simplificar a equação para deixá-la na forma padrão:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: