Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = x y, (-1, 2, -2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma superfície definida pela equação e um ponto específico nessa superfície, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente pertence à superfície . Substituindo e na equação:
Então, o ponto está correto na superfície.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a determinar a inclinação da superfície em pontos específicos.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto :
Esses valores representam as inclinações nas direções de e respectivamente no ponto dado.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente. A equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:

Passo 6

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que , e . Então:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos distribuir e simplificar a equação para deixá-la na forma padrão:
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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