Considere a equação:
z^{4}=81
Uma solução é z=3, outra é -3 , e existem mais duas soluções complexas distintas.

Quais são essas soluções?

Escolha 2 respostas:
A z=-27 i
B z=27 i
c z=-3 i
D z=3 i

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Passo 1

O enunciado pede as quatro raízes da equação
z^{4} \;=\; 81
Sabemos que duas soluções reais são z=3 e z=-3. Queremos achar as outras duas soluções complexas. Para isso, usaremos a forma polar dos números complexos e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Escrevemos 81 em forma polar. Como 81>0 e seu argumento principal é 0, temos
81 = 81\,e^{i\cdot 0}.
A quarta raiz de 81 em módulo é
\sqrt[4]{81} = 3.

Passo 3

Pela fórmula das n-ésimas raízes, as soluções de z^{4}=81 são
z_{k} = \sqrt[4]{81}\;e^{\,i\frac{0 + 2\pi k}{4}} \quad\text{para }k=0,1,2,3.
Substituindo \sqrt[4]{81}=3,
z_{k} = 3\,e^{\,i\frac{\pi k}{2}}.

Passo 4

Calculando para cada k:
k =0: z_{0}=3e^{i\cdot 0}=3
k =1: z_{1}=3e^{i\pi/2}=3\,i
k =2: z_{2}=3e^{i\pi}=-3
k =3: z_{3}=3e^{i3\pi/2}=-3\,i

Passo 5

As duas soluções complexas que faltam são \;z=3\,i\; e \;z=-3\,i.
Comparando com as opções, as respostas corretas são as letras C e D.

Resposta

C z=-3\,i
D z=3\,i

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