Nina tentou escrever x^{6}-x^{2} como um produto de fatores lineares. Veja abaixo o trabalho dela:
\begin{array}{rlr} & x^{6}-x^{2} & \\\ = & x^{2}\left(x^{4}-1\right) & \text { Etapa } 1 \\\ = & x^{2}\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right) & \text { Etapa } 2 \\\ = & x^{2}(x+i)(x+i)\left(x^{2}-1\right) & \text { Etapa } 3 \\\ = & x^{2}(x+i)(x+i)(x+1)(x-1) & \text { Etapa } 4 \end{array}
Em que etapa Nina cometeu seu primeiro erro?
Escolha 1 resposta:
(A) Etapa 1
(B) Etapa 2
(C) Etapa 3
(D) Etapa 4

Passo 1

O enunciado pede para identificar em qual etapa Nina errou ao tentar fatorar
x^{6}-x^{2}
como produto de fatores lineares. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, usando fator comum, diferença de quadrados e fatoração sobre os complexos.

Passo 2

Verificamos a Etapa 1:
x^{6}-x^{2}=x^{2}\bigl(x^{4}-1\bigr).
Ela apenas tirou x^{2} como fator comum. Isso está correto, pois
x^{2}\cdot x^{4}=x^{6} \quad\text{e}\quad x^{2}\cdot(-1)=-x^{2}.

Passo 3

Verificamos a Etapa 2:
x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1).
Isso também está certo, pois é a diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)
com a=x^{2} e b=1.

Passo 4

Verificamos a Etapa 3:
Nina substituiu
x^{2}+1
por
(x+i)(x+i).
Porém, a fatoração correta sobre \mathbb{C} é
x^{2}+1=(x+i)(x-i),
e não (x+i)^{2}. Logo, aqui ocorreu o primeiro erro.

Resposta

(C) Etapa 3

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